§ 63. Yasash imkoniyatlari haqida umumiy ma'lumot

116-A masala. Sirkul va chizg`ich vositasida berilgan uchta aylanaga urinuvchi aylana yasash mumkinligini isbot qiling.
Bu masalani yechish uchun dastavval ma'lum va aylanalarga urinuvchi A aylanani analitik usulda topib olishimiz kerak. Buning uchun ularning markazlarini (to`g`ri burchakli koordinatalar sistemasida) ushbu nuqtalar deb faraz qilaylik: va radiuslarini esa va lar bilan belgilab olaylik.
Masalaning shartiga ko`ra, izlangan A (O,r) aylana berilgan uchala aylananing har biriga uringanligi uchun bu urinish shartini quyidagicha yozish mumkin:
(1)
(2)
(3)
Bundagi har ikki radiusning yig`indisi qatnashgan tengliklar tashqi urinishni va har ikki radius ayirmasi qatnashgan tengliklar esa ichki urinish shartlarini ko`rsatishi 181-1, II, III chizmalardan ko`rinadi.
Agar (1), (2), (3) tengliklarning chap tomonidagi kesmalar uzunligini va O markazlarning qabul qilingan koordinatalari orkali yozsak, bu tengliklar kuyidagi kurinishga keladi:
(1)
(2)
(3)
Bu uch noma'lumli uchta kvadrat tenglamalar sistemasini ma'lum yullar bilan yechib, izlangan A aylana markazining x, y koordinatalari va r radiusi topiladi.
Topshiriqlar
I. Tuzilgan uchala tenglamadagi qavslarni ochib, undan chiqqan yoyiq tenglamalarning bittasidan dolgan ikkitasini ayrim-ayrim xadlab ayiring; bundan hosil buladigan (x, y, r larga nisbatan birinchi darajali) uch noma'lumli ikkita (4) va (5) tenglama sistemasini x va y ga nisbatan yeching. x va y lar uchun topilgan g li ifodalarni (1'), (2'), (3') tenglamalarning biriga qo`yib, r ga nisbatan kvadrat tenglama xosil qiling. Bu tenglamani yechib, r ning ifodasini toping.
II. x, y va r lar uchun topilgan ifodalarni sirkul va chizg`ich yordamida yasash mumkinligini tushuntiring (§ 63-1).
Endi sirkul va chizg`ich yordamida yechilmaydigan masalalarga misollar
kuraylik.