ﺮﺴﻛ boʻlak, parcha matematikada

---

Kasr
Kasr (
arabcha
: 
ﺮﺴﻛ - boʻlak, parcha) — 
matematikada
 birning bitta yoki bir nechta qismidan
(boʻlagidan) iborat son. Kasr ikkita butun sonning nisbati bilan ifodalanadi: yoki n/m. Bu
yerda m kasrning maxraji, n boʻlsa surati deyiladi. Maxraj chiziqning ostiga (yoki ketiga), surat
boʻlsa chiziqning ustiga (yoki oldiga) yoziladi.
Maxraj bir sonni necha boʻlakka boʻlinganini koʻrsatadi, surat boʻlsa shu kasrda shunday
ulushlardan nechta borligini koʻrsatadi. Masalan, kasrida surat 3 dir va u kasr teng uch
boʻlakni ifodalashini koʻrsatadi. Maxraj boʻlsa 4 dir va u toʻrtta boʻlak bir boʻlib butunni hosil
qilishini anglatadi.
Matematikada koʻrinishida yozsa boʻladigan barcha sonlar 
ratsional sonlar
toʻplamiga kiradi.
Bu yerda a va b butun sonlardir va b 0 ga teng emas (b‡0).
Toʻrtdan bir qismi (choragi) olingan tort. Qolgan toʻrtdan uch qismi rasmda koʻrsatilgan. Nuqtali chiziqlar tortni teng
boʻlaklarga boʻlish uchun qanday kesish mumkinligini koʻrsatadi. Tortning har bir choragi ¼ kasri bilan belgilanadi.

---

Kasr sonlar yaqqol surat yoki maxrajli boʻlmasligi ham mumkin, masalan oʻnli kasr, 
foiz
, manfiy
darajalar (mos ravishda 0,01, 1% va 10
−2
; bularning har biri 1/100 ga teng). Butun sonni ham
maxraji 1 ga teng kasr koʻrinishida yozish mumkin: masalan 7 va 7/1 bir-biriga teng.
Kasrlar 
nisbat
va 
boʻlinmalarni
ifodalashda ham ishlatiladi.
[1]
Masalan, 3/4 kasr 3:4 nisbat va 3
÷ 4 boʻlinmani ifodalaydi. 🖋Tahrir:N.O'.ISLOMOV tamonidan
Oddiy kasrlar
Oddiy (yoki sodda) kasr 
ratsional soning
yoki 
koʻrinishida yozilganidir. Bunda
Boʻlinuvchi
kasrning surati deyiladi. 
Boʻluvchi
 boʻlsa kasrning maxraji deb ataladi.
Oddiy kasrlarni yozish
Ilmiy bosma etishda kasrlarni yozishning toʻrt usuli bor:
[2]
maxsus kasrlar: egri chiziqli va bir belgi qilib berilgan
kasrlar. Matndagi boshqa belgilar bilan teng balandlikka va
kenglikka ega. Odatda sodda kasrlar uchun qoʻllaniladi,
masalan: ½, ⅓, ⅔, ¼ va ¾. Sonlar kichikligi uchun koʻp 
fontlarda
bunday yozilgan kasrlarni
oʻqish muammo boʻlishi mumkin.
Zamonaviy matematik analizda ishlatilmaydi. Boshqa joylarda ishlatiladi;
satr kasrlari: maxsus kasrlarga oʻxshash, ammo gorizontal chiziq bilan yoziladi. Masalan,
boshqa belgilar bilan bir xil balandlikdagi kasri;
shilling kasrlari: 1/2; bunday nomlanishiga sabab bu yozish Britaniya puli (
£sd
) bilan
ishlatilgan. Masalan, 2 shilling va 6 pennini yarim krona deb 2/6 kabi yozishgan. „Ikki shilling
va 6 penni“ kasr boʻlmagan boʻlsa ham, oldinga qaragan egri chiziq hozir kasrlar bilan
ishlatiladi. Masalan, satrlarni bir tekis qilib yozish uchun. Yana kasrlar ichidagi kasrlarni yoki
darajalar ichidagi kasrlarni yozish uchun ishlatiladi (qarang: 
murakkab kasr
);
qavatli kasrlar: ; Bu belgilashda matnning ikki yoki undan koʻp satri ishlatiladi. Bunday
yozish matnda satrlar orasida joy ajratadi. Katta boʻlgani uchun oʻqish oson. Ammo, sodda
kasrlarni yozishda yoki murakkab kasrlar ichidagi kasrlarni yozishda ishlatilsa muammoli
boʻlishi mumkin.
Toʻgʻri va notoʻgʻri kasrlar
Toʻgʻri kasr
deb suratining 
moduli
maxrajining modulidan kichkina kasrga aytiladi. Agar kasr
toʻgʻri boʻlmasa u 
notoʻgʻri kasr
deb ataladi. Notoʻgʻri kasrlar birga teng yoki katta boʻladi.
Kasr turlari

---

Masalan, , va kasrlari toʻgʻri kasrlardir. , , va kasrlari boʻlsa notoʻgʻri kasrlardir.
Har qanday butun sonni notoʻgʻri kasr qilib yozish uchun, 1 sonini maxraj qilib olish kerak.
Aralash kasrlar
Butun son va toʻgʻri kasr bilan yozilgan kasr aralash kasr deb nomlanadi. Murakkab kasrni
undagi butun son bilan kasrning yigʻindisi deb tushuniladi. Har qanday ratsional sonni aralash
kasr qilib yozish mumkin. Faqat surat va maxrajga ega kasr sodda kasr deb nomlanadi.
Masalan, 
kasri murakkab kasrdir. Bunda 
.
Kasrning balandligi
Oddiy kasrning balandligi — shu kasrning surati va maxraji modullari yigʻindisidir. Ratsional
sonning balandligi — shu songa mos keluvchi qisqarmaydigan oddiy kasrning surat va maxraji
modullari yigʻindisidir.
Masalan, 
kasrning balandligi 
ga teng. Mos keluvchi ratsional sonning
balandligi boʻlsa 
ga teng. Chunki 
kasri bilan qisqaradi (berilgan kasr ga
qisqarganidan keyin 
hosil boʻladi va 
).
Qismli kasrlar
Koʻp qavatli yoki qismli kasr deb bir necha gorizontal chiziqlarga ega ifoda aytiladi. Baʼzan
bunday kasrlarda egri chiziq ishlatiladi. Masalan:
yoki 
yoki 
Oʻnli kasrlar
Oʻnli kasr deb kasrni xonali qilib yozilganiga aytiladi. Oʻnli kasrlar quyidagi koʻrinishga ega
boʻladi:
Misol: 
.
Kasrning xonani belgilovchi vergulgacha boʻlgan qismi kasrning butun qismi hisoblanadi.
Verguldan keyingi qismi — kasr qismi boʻladi. Verguldan keyin kasr tarkibiga kirgan oʻndan bir,

---

yuzdan bir va boshqa ulushlar yoziladi.
Har qanday oddiy kasrni oʻnli kasr koʻrinishida yozish mumkin. Bunday qilganda hosil boʻlgan
oʻnli kasrlarda verguldan keyin cheklangan miqdorda son boʻlishi yoki maʼlum bir sonlar guruhi
qaytarilib kelishi mumkin, yaʼni 
davriy kasr
 hosil boʻlishi mumkin. Davriy boʻlmagan oʻnli kasrlar
ham mavjud. Davriy oʻnli kasrlarni oddiy kasrga aylantirish usullari bor. Davriy boʻlmagan
cheksiz oʻnli kasr hech qanday oddiy kasrga teng emas. Bunday sonlar 
irratsional sonlar
deyiladi.
Kasr sonning faqat yozilishidir. Bitta songa bir necha kasr toʻgʻri kelishi mumkin, ham oddiy
kasrlar, ham oʻnli kasrlar. Agar kasrning surat va maxrajini bir xil songa 
koʻpaytirsak
,
kasrning qiymati oʻzidek qoladi, kasrlar har xil boʻlsa ham. Masalan,
Buning aksi ham toʻgʻridir. Yaʼni, agar kasrning surati va maxraji umumiy boʻluvchiga ega boʻlsa,
unda ikkala qismni oʻsha songa boʻlish mumkin. Bu amal kasrni qisqartirish deb ataladi. Misol:
Kasrning maʼnosi va uning asosiy xossalari
Bir butunni toʻrt ulushga boʻlish

---

 — bu yerda kasrning surati va maxraji umumiy boʻluvchi 4 bilan
qisqartirilgan.
Qisqarmaydigan kasr deb surati va maxraji sodda sonlardan iborat va 
dan boshqa
umumiy boʻluvchiga ega boʻlmagan kasrga aytiladi.
Oʻnli kasrni odatda faqat bitta koʻrinishda yozish mumkin. Ammo, istisnolar mavjud. 
Misol
:
— ikki xil kasr bir songa toʻgʻri keladi.
Barcha kasrlar toʻplamining muhim xossalaridan biri uning zichligi, yaʼni ixtiyoriy ikkita turli
kasrlar orasiga uchinchi kasr joylashtirish mumkin (
butun sonlar
toʻplami bunday xossaga ega
emas).
Bu boʻlimda oddiy kasrlar ustida qilinadigan amallar berilgan. Oʻnli kasrlar ustidagi amallar
uchun 
oʻnli kasr
 maqolasiga qarang.
Umumiy maxraj topish
Kasrlarni solishtirish, qoʻshish va ayirish uchun ularni bir xil maxrajli qilib qaytadan tuzish kerak.
Ikki kasr berilgan boʻlsin:
va .
Amallar ketma-ketligi:
Maxrajlarning 
eng kichik umumiy karralisini
(EKUK) topamiz: 
.
Birinchi kasrning suratini va maxrajini 
ga koʻpaytiramiz.
Ikkinchi kasrning suratini va maxrajini 
ga koʻpaytiramiz.
Bundan keyin ikkala kasrning maxraji mos keladi (M ga teng boʻladi). Eng kichik umumiy karralisi
sifatida sodda hollarda M oʻrniga istalgan boshqa umumiy koʻpaytuvchini olish mumkin,
masalan, maxrajlarning koʻpaytmasini.
Solishtirish
Ikki sodda kasrni solishtirish uchun, ularni umumiy maxrajga olib kelish kerak va hosil boʻlgan
kasrlarning suratlarini solishtirish kerak. Surati katta boʻlgan kasr katta boʻladi.
Kasrlar ustida amallar

---

Masalan, va kasrlarini solishtirish kerak boʻlsin. EKUB (4, 5) = 20. Kasrlarning maxrajini 20
qilamiz.
Bundan kelib chiqib, 
, chunki 
.
Qoʻshish va ayirish
Ikki sodda kasrni qoʻshish uchun ularni umumiy maxrajga olib kelish kerak. Keyin suratlarni
qoʻshish kerak. Maxraj oʻziday qoladi. Masalan:
+ = + = 
Maxrajlar (bu yerda 2 va 3) uchun eng kichik umumiy boʻluvchi 6 ga tengdir.
kasrining maxrajini 6 ga olib kelamiz. Buning uchun surat va maxrajni 3 ga koʻpaytirish kerak.
Bu amaldan keyin hosil boʻladi.
kasrini ham shu maxrajga olib kelamiz. Buning uchun surat va maxrajni 2 ga koʻpaytiramiz.
Natijada hosil boʻladi.
Kasrlar orasidagi ayirmani topish uchun ularni umumiy maxrajga olib kelish kerak. Soʻngra
suratlarni bir-biridan ayirib, maxrajni oʻziday qoldirish kerak. Masalan:
— = — = 
Maxrajlar (bu yerda 2 va 4) uchun eng kichik umumiy boʻluvchi 4 ga tengdir. 
kasrini 4
maxrajiga olib kelamiz. Buning uchun surat va maxrajni 2 ga koʻpaytiramiz. Natija 
ga tengdir.
Koʻpaytirish va boʻlish
Ikki oddiy kasrni koʻpaytirish uchun berilgan kasrlarning surat va maxrajlarini oʻzaro koʻpaytirish
kerak:

---

Kasrni natural songa koʻpaytirish uchun suratni berilgan son bilan koʻpaytirish kerak. Maxrajni
oʻziday qoldirish kerak:
Koʻpaytirishdan hosil boʻlgan kasrning surati va maxraji qisqarsa, ularni qisqartirish kerak.
Masalan:
Koʻpaytirishni qulaylashtirish uchun kasrlarni soddalashtirish mumkin. Bunda surat va
maxrajdagi sonlar nisbati saqlanib, eng kichik qiymatlarga keltiriladi. Masalan:
Ikki oddiy kasrni boʻlish uchun birinchi kasrni ikkinchi kasrning teskarisiga koʻpaytirish kerak:
Masalan:
Yozish usulini oʻzgartirish
Oddiy kasrni oʻnli kasr koʻrinishida yozish uchun suratni maxrajga boʻlish kerak. Natija chekli
oʻnli belgiga ega boʻlishi yoki cheksiz 
davriy kasr
boʻlishi mumkin. Misollar:
— cheksiz takrorlanuvchi davrni
qavsga olib yozish qabul qilingan.
Oʻnli kasrni oddiy kasr koʻrinishida yozish uchun berilgan oʻnli kasrning kasr qismini 10
sonining mos keluvchi darajasiga boʻlib natural son koʻrinishida yozish kerak. Soʻngra kasr
qism bilan butun qismni birlashtirib yozish zarur. Bunda aralash kasr hosil boʻladi. Misol:

---

Soʻnggi tahrir 3 oy avval MalikxanBot
 tomonidan amalga oshirildi
"
https://uz.wikipedia.org/w/index
.php?title=Kasr&oldid=2917745
" 
dan olindi
Tarixi
Manbalar
Havolalar

---