1 – amaliyot mashg’uloti matematik modellashning nazariy va amaliy tadbig’iga doir masalalar

1 – AMALIYOT MASHG’ULOTI


Matematik modellashning nazariy va amaliy tadbig’iga doir masalalar

Xonadonda molxona qurish.

Deylik, sizda 36 metrlik sim to’r bor. Bu simto’rdan chorva mollari uchun yuzasi eng katta bo’lgan yozgi molxona barpo qilish kerak. Molxonani to’gri to’rtburchak ko’rinishida, doira ko’rinishida barpo qilish mumkin. Bu endi molxona qurilayotgan joyga qarab tanlanadi. Biz to’rtburchak yoki doira ko’rinishidagi maydonlarning eng kattasi varianti haqida mushohada yuritaylik.
Aytaylik, molxonani to’g’ri to’rtburchak ko’rinishida qurish kerak bo’lsin. Bunda uning bo’yi va eni qanchadan bo’lsa, yuza eng katta bo’ladi? Masalan, agar molxona enini 4 metr deb olsak, ikkala eni 8 metr, bo’yi esa (36-8)/2=14 metr bo’ladi. Demak, bu holda molxona bo’yi 14 metr, eni 4 metr bo’ladi, yuzi esa s=14*4= 56 m² bo’ladi.
Biz yuqorida bitta variantni ko’rdik, bunday hollarni birma-bir ko’rib chiqish ko’p vaqtni olishi mumkin, shuning uchun iqtisodiy-matematik usullardan foydalanish eng optimal echimni topishda yordam berishi mumkin.
Aytaylik, o’rab olinadigan maydon to’g’ri to’rtburchak bo’lib, eni x desak, bo’yi 36-2x bo’ladi, chunki, bizda 36 metrlik simto’r bor. Biz o’zimizga maydon yuzasini eng katta bo’lishini maqsad qilib qo’yganimiz uchun yuza formulasini olamiz. To’g’ri to’rtburchak yuzasining matematik ko’rinishidan foydalansak

S=2x(36-2x) m² (1)

ifodasini olamiz.
Matematika nazariyasida uzluksiz funksiyadan hosila asosida funksiyaning ekstremal(katta yoki kichik) echimini topish mumkin.

1. 
   ko’rinishdagi funksiyadan xususiy hosila olsak, quyidagi ko’rinishga ega bo’lamiz:
   

(2)

Ma’lumki, funksiyaning ekstremal(maksimal yoki minimal) qiymatlarga erishgan nuqtalarda hosila holga teng bo’ladi. Ushbu mulohazadan kelib chiqib, (2) ni nolga tenglashtiramiz:

(3)

2. 
   dan to’g’ri to’rtburchak bo’yi va eni 9 m ga teng bo’lishi, ya’ni kvadrat ekanini ko’ramiz. Yuzasi esa 81 m² ga teng bo’ladi.
   

Bundan ko’rinib turibdiki, olingan echim biz yuqorida taxminiy olib ko’rilgan 56 m² yuzadan ancha katta.
Shuning bilan birga 36 metr simto’rdan doira shaklidagi molxona qursak ham bo’ladi. Bunda hosil bo’lgan doira yuzasini topish kerak bo’ladi. Ma’lumki, doirani o’rab turgan aylana uzunligi C=36 metr, aylana uzunligi formulasi
(4)
ko’rinishida bo’ladi. (4) dan ni topsak,
(5)
kabi bo’ladi. (5) ni doira yuzi formulasiga qoyib, yuza qiymatini topamiz:


(6)

(6) dan ko’rinadiki, mavjud simto’rdan molxonani doira ko’rinishida qurishda yanada katta yuzaga ega bo’lamiz. Lekin bunda molxona ochiq dalalarda qurilgandagina samaraga ega bo’lamiz. Hovlilar odatda to’rtburchak ko’rinishida bo’lgani uchun molxonalarni doira ko’rinishida joylashtirish hovli maydonidan samarasiz foydalanishga olib keladi.

Turmushimizda uchraydigan ko‘pgina iqtisodiy masalalarni hal qilishda belgilangan maqsadga erishish uchun eng yaxshi variantni topishga harakat qilamiz. Bunday masalalar optimizatsiya masalalari hisoblanadi va ularni hal qilishda matematik usullardan foydalanamiz.

Ko‘pgina optimizatsiya masalalari maqsad funksiyasi yoki sifat kriteriysi (mezoni) deb ataluvchi qandaydir funksiyaning eng katta yoki eng kichik qiymatini topish masalasiga keltiriladi. Masalani qo‘yilishi va uni yechish usullari maqsad funksiyasi va u haqidagi oldindan berilgan ma’lumotlarga bog‘liq. Matematik nuqtai nazardan, agar maqsad funksiyasi aniq formula ko‘rinishida berilgan differensiallanuvchi funksiya bo‘lsa, masalaning yechilishi juda soddalanadi. Bunday funksiyaning eng katta yoki eng kichik qiymatlarini hosila yordamida topish mumkin. Hozirgi vaqtda, fan-texnikaning jadal o‘sishi bilan optimizatsiya masalalari doirasi kengayib ketdi. Bunday masalalarning ko‘pida maqsad funksiyasining ko‘rinishi murakkab yoki tajriba natijalariga ko‘ra olingan bo‘ladi. Bunday masalalarni yechish kompyuterlar yordamida murakkab murakkab matematik usullarni qo‘llab bajariladi. Masalalarning murakkabligi funksiya argumentlarining soniga ham bog‘liq. Shunga ko‘ra bir o‘lchovli optimizatsiya masalalari yechiladi.
Shunday masalalardan biri eng yaxshi konserva bankasi haqidagi masaladir.
Masalaning ‘oyilishi quyidagicha:
Silindr shakldagi, V hajmga ega bo‘lgan konserva bankasining eng yaxshi varianti ko‘rsatilsin. Bunda o‘z-o‘zidan savol tug‘iladi: “qanday banka eng yaxshi hisoblanadi, bankalarning qaysi alomatiga ko‘ra solishtirish kerak?” boshqacha qilib aytganda, optimizatsiya maqsadini ko‘rsatish kerak.
Masalaning ikki hil variantini ko‘raylik:

1. 
   Eng yaxshi bankaning sirti S minimal bo‘lsin. Uni yasash uchun eng kam tunika sarflanadi.
   
2. 
   Eng yaxshi bankaning choklari uzunligi l minimal bo‘lsin. Choklarni kavsharlash uchun kam ish bajarilsin.
   

Masalani yechish uchun bankaning hajmi, to‘la sirti va choklarining uzunligini hisoblash uchun formulalarni yozib olamiz:
V= , (1)
Bankaning hajmi ma’lumligidan uning radiusi va balandligi orasidagi munosabatni yozib olamiz . Endi hosil qilingan ifodani S va l ni topish formulalariga olib borib qo‘yamiz. Natihada quyidagilar hosil bo‘ladi
, (2)
Shunday qilib, masala S(r) funksiya minimumga erishuvchi r ning qiymatini topishga keltirildi.
Endi S(r) funksiyaning birinchi tartibli hosilasini hisoblab, uning ishorasini tekshiramiz:
(4)
oralikda hosila manfiy va S(r) funksiya kamyadi, oralikda hosila musbat va S(r) funksiya o‘sadi. Demak, S(r) funksiya o‘zining eng kichik qiymatiga r= nuqtada erishadi, bu nuqtada uning hosilasi 0ga aylanadi. Funksiyaning grafigi quyidagicha bo‘ladi:


To‘la sirti minimal bo‘lgan bankaning radiusi va balandligi quyidagi munosabatlarda aniqlanadi:
(5)
bunda (6)
Ko‘rinib turibdiki, optimizatsiyaning turli kriteriylari uchun turlicha javoblar olindi. Birinchi holda (5) “eng yaxshi” bankaning balandligi diametriga teng bo‘lsa, ikkinchi holda (8) balandlik diametrdan marta ko‘p.

Topshiriq:

Endi masalani ikkinchi tomondan, ya’ni choklar uzunligi minimal bo‘ladigan holini ko‘ring.