1-§. Kirisiw. Pánniń maqseti hám wazıypaları. Shekli ólshemli keńislikte ekstremum máseleleri. Shártsiz hám shártli ekstremum

1-§. Kirisiw. Pánniń maqseti hám wazıypaları. Shekli ólshemli keńislikte ekstremum máseleleri.
Shártsiz hám shártli ekstremum


1. Shártsiz ekstremum
n ólshemli evklid keńisliginiń qandayda da bir I oblastında yamasa qısqasha funkciya berilgen bolsın. funkciya toshkada oziniń eń úlken (eń kishi) mánisine erisedi delinedi, eger noqat qanday bolmasın, bolsa.
Veyeshtrass teoreması. Jabıq shegaralanǵan oblastda hár qanday úzliksiz funkciya oziniń eń úlken hám eń kishi mánisine erisedi.
Anıqlama 1. funkciya oblastda anıqlanǵan bolsın. noqat funkciyanıń qatań maksimum (sáykes túrde qatań minimum) noqatı delinedi, eger noqattıń sonday átirapı bar bolıp, barlıq noqatlar ushın (sáykes túrde teńsizlikler orınlansa.
Qatań maxsimum (sáykes túrde qatań minimum) noqatlar barlıq noqatlarda
(sáykes túrde ) bolıwı menen orinlanadı.
Egerde, noqattıń dógeregi bar bolıp, barlıq noqatlar ushın (sáykes túrde ) teńsizlik orınlansa, onda noqat funkciyanıń ápiwayı maksimum (sáykes túrde ápiwayı minimum) noqatı delinedi.
Anıqlama 2. Maksimum hám minimum noqatlar funkciyanıń ekstremum noqatları delinedi.
Teorema 1. (Ekstremumnıń zárúrli shárti). Aytayıq funkciya noqatniń qandada bir dógereginde anıqlanǵan bolsın. Eger bul noqat funkciyanıń ekstremum noqatı bolsa hám eger funkciyanıń bul noqattaǵı , , tuwındıları bar bolsa, onda , boladı.
Eger funkciya ekstremum noqatta differenciyallanıwshı bolsa, onda onıń differencialı usı noqatta nolge teń boladı, yaǵnıy .
Misal 1. funkciyaniń ekstremum noqatı tabılsın.
Sheshiliwi. Bul funkciyanıń ekstremum noqatların ge aylandırıwshı noqatlar ishinen izleymiz. Bizlerdiń jaǵdayda boladı. shárt jalǵız , noqatlarda orınlanadı. Haqıyqattan da, eger bolsa, boladı. Kerisinshesi, bolsın, , lardı qálegen ekenliginen paydalanıp, ti dep tańlaymız, onda boladı hám ti qálegen ekenliginen kelip shıǵadı.Tap usınday, de alamız. (0,0) noqatta iye bolamız, qalǵan noqatlarda bolsa boladı. Sonıń ushın, (0,0) noqat funkciyanıń qatań minimum noqatı boladı.
Eger differencyallanbaytuǵın noqatlardı qosıp, ekstremum izlelenip atırǵan noqatlar klası keńeytirilse, onda tómendegi ekstremumnıń zárúrli shártine kelemiz.
Eger noqat funkciyaniń ekstremum noqatı bolsa,onda onıń noqattaı hár bir dara tuwındısı , , nolge teń boladı yamasa mániske iye bolmaydı.
Misal 2. , , konustıń joqarǵı pállesin qaraymız. Haqıyqatında da , 0(0,0) noqatta z minimumǵa erisedi. Biraq, 0(0,0) noqatta tuwındılarǵa iye emes.
Anıqlama 3. funktciya ekstremumınıń zárúrli shárti orınlanǵan noqatlar funkciyaniń kritik noqatları dep ataladı.
ge aylandiratuǵın noqat funkciyanıń stacionar noqatı delinedi. shárt , , shártke ekvivalent.