1-§. Skalyar argumentning vektor funksiyasini differensiallash

1-§. Skalyar argumentning vektor funksiyasini differensiallash
5.1.1. Agar o‘zgaruvchining har bir qiymatiga ma’lum vektor to‘g‘ri kelsa, u holda bu vektor t skalyar argumentning vektor funksiyasi deyiladi va bunday belgilanadi:

vektor funksiyaning berilishi uchta skalyar funksiya: vektor koordinatalarining berilishiga teng kuchli:

yoki qisqacha:
Agar o‘zgaruvchi vektorning boshi koordinatalar boshi bilan ustma-ust tushsa, ya’ni u nuqtaning radius-vektori bo‘lsa, u holda vector funksiya bunday belgilanadi:

vektorning oxirgi fazoda chizadigan L chiziq vektor funksiyaning godografi deyiladi. Koordinatalar boshi godograf qutbi deyiladi.
Agar vektorning moduli o‘zgarishsiz ( ) qolsa-yu, uning yo‘nalishigina o‘zgarsa, u holda markazi qutbda, radiusi esa ga teng bo‘lgan sferada yotuvchi chiziq godograf bo‘ladi.
Fazodagi hamma chiziqni biror vektorning godografi deyish mumkin.
Godografning parametric tenglamalari ushbu ko‘rinishda yoziladi:

bu yerda o‘zgaruvchi parameter deyiladi.
5.1.2. vektor funksiyaning parameter bo‘yicha hosilasi yangi vektor funksiyasi bo‘lib, ushbu tenglik bilan aniqlanadi:


Vektor funksiyaning hosilasi ushbu formula bo‘yicha hisoblanadi:

Vektor funksiyani differensiallashning asosiy qoidalarini keltiramiz (bunda ):

1. 
   
   
2. 
   bu yerda o‘zgarmas vektor.
   
3. 
   bu yerda o‘zgarmas son.
   
4. 
   bu yerda ning skalyar funksiyasi.
   
5. 
   
   
6. 
   
   
7. 
   bu yerda ning skalyar funksiyasi.
   

Agar bo‘lsa, u holda hosila vektor bo‘lib, vektor funksiyaning godografiga o‘tkazilgan urinma bo‘ylab t parametrning o‘sish tarafiga yo‘nalgan bo‘ladi.
1-misol. vektor funksiyaning dagi birlik urinma vektorini toping.
Yechish. vektorning godografiga urinma birlik vektorni

Bu vektorning modulini hisoblaymiz:

ning dagi qiymati ga teng,
Shunday qilib, izlanayotgan birlik vektor bunday yoziladi:

2-misol. va vektorlar o‘zaro perpendikulyar vektorlar ekanligini ko‘rsating.
Yechish. Berilgan skalyar argumentli funksiya hosilasini topamiz:
Endi va vektorlarning skalyar ko‘paytmasini hisoblaymiz.
Demak, va vektorlar o‘zaro perpendikulyar ekan.
1-darsxona topshirig‘I

1. 
   Vektor funksiyalarning hosilalarini toping:
   

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   

Javob:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   

2. 
   Harakat qilayotgan moddiy nuqtaning t vaqtdagi radius-vektori tenglama bilan berilgan. va lar uchun vektorini toping.
   

Javob:

3. 
   vektor funksiya godografiga dagi birlik urinma vektorini toping.
   

Javob:

1-mustaqil ish

1. 
   Vektor funksiyaning hosilasini toping:
   

Javob:

2. 
   Agar bo‘lsa, ni toping.
   

Javob: 0

3. 
   Agar bo‘lsa, ni toping.
   

Javob:

4. 
   vektor funksiyaning dagi urinma vektorining yo‘naltiruvchi kosinuslarini toping.
   

Javob: