1-§. Xos qiymatlarning va xos funksiyalarning sodda xossalari

Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining regulyarlashtirilgan izini hisoblashning P.Laks usuli

Ushbu

(3.1)

Shturm-Liuvill masalasini ko`rib chiqamiz. Bu yerda haqiqiy funksiya va chekli haqiqiy sonlar. Bu chegaraviy masalaning xos qiymatlari bo`lsin. Quyidagi asimptotik formula o`rinli bo`lishi bizga ma’lum:

(3.2)

Bu yerda

(3.3)

Agar biz xos qiymatlardan ushbu

Qatorni tuzib olsak, (3.2) asimptotik formulaga ko`ra bu qator uzoqlashuvchi bo`ladi, ya’ni Shturm-Liuvill operatorining oddiy ma’nodagi izi mavjud emas.

Agar biz ushbu

(3.4)

Sonli qatorni qaraydigan bo`lsak, (3.2) asimptotik formulaga ko`ra bu qator yaqinlashuvchi bo`ladi.

Ta’rif 3.1. (3.4) qatorning yig`indisiga (3.1) Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining regulyarlashtirilgan izi deyiladi.

(3.1) chegaraviy masalaning regulyarlashtirilgan izi, ilk bor, 1953-yilda I.M.Gelfand va B.M.Levitan tomonidan hisoblangan. Mazkur paragfda biz Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining regulyarlashtirilgan izi hisoblashning P.Laks usuli bilan tanishamiz. bo`lgan holda, (3.1) chegaraviy masalaning xos qiymatlarini orqali, ortonormallangan xos funksiyalarini orqali belgilaymiz.

Teorema 3.1. (P.Laks). (3.1) Shturm-Liuvill chegaraviy masalaning regulyarlashtirilgan izi uchun quyidagi formula o`rinli:

(3.5)

Bu yerda

(3.6)

Isbot. Quyidagi Shturm-Liuvill operatorlari oilasini ko`rib chiqamiz:

(3.7)

Bu yerda parameter. (3.7) chegaraviy masalaning xos qiymatlarini orqali va ularga mos keluvchi ortonormallangan xos funksiyalarni orqali belgilaymiz. Ushbu

tenglikni funksiyaga skalyar ko`paytiramiz

Bundan bo`yicha hosila olamiz

(3.8)

(3.9)

(3.9) ifodani (3.8) tenglikka qo`yamiz:

(3.10)

operatorning simmetrikligidan foydalanib, (3.10) tenglikni ushbu

(3.11)

tarzda yozib olamiz. tenglikka asosan (3.11) ayniyat quyidagi ko`rinishni oladi:

ya’ni

(3.12)

(3.12) tenglikni bo`yicha kesmada integrallaymiz:

(3.13)

va (3.13) tenglikdan (3.3) tenglikni ayiramiz:

(3.14)

(3.14) tenglikdan

(3.15)

kelib chiqadi.

Ta’rif 3.2. Agar ushbu

sonli qator cheksiz marta differensiallanuvchi, va nuqtalarning biror atrofida nolga aylanuvchi ixtiyoriy funksiya uchun yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda ushbu

,

funksional qator umumlashgan ma`noda yaqinlashuvchi deyiladi.