1-§. Xos qiymatlarning va xos funksiyalarning sodda xossalari

3-xossa. (Grin ayniyati). Ixtiyoriy funksiyalar uchun ushbu

ayniyat bajariladi.

Isbot. Quyidagi ayirmani hisoblaymiz:

4-xossa. Ixtiyoriy funksiyalar uchun ushbu

(1.3)

tenglik bajariladi.

Isbot. Grin ayniyatidagi ifodani kerakli ko`rinishda yozamiz. Buning uchun quyidagi sistemani tuzib olamiz:

va undan ushbu

tengliklarni hosil qilamiz. Bularni Grin ayniyatiga qo`ysak, (3) tenglik hosil bo`ladi.

Natija 1. Agar bo`lib, funksiya (2) chegaraviy shartlarni qanoatlantirsa, u holda

tenglik bajarilishi uchun funksiya ham (2) chegaraviy shartlarni qanoatlantirishi zarur va yetarlidir.

Yuqoridagi natija, (1)+(2) chegaraviy masala yordamida aniqlangan chiziqli operator Gilbert fazosida o`z-o`ziga qo`shma operatorni ifodalashini ko`rsatadi.

5-xossa. (1)+(2) Shturm-Liuvill masalasining xos qiymatlari haqiqiydir.

Isbot. son (1)+(2) Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining xos qiymati bo`lsin deb faraz qilaylik va unga mos keluvchi xos funksiyani bilan belgilaylik. U holda son ham shu chegaraviy masalasining xos qiymati bo`ladi va unga xos funksiya mos keladi. Quyidagi

tenglikdan ekanligi kelib chiqadi. Bu esa farazimizga zid.

Natija 2. Xos funksiyani haqiqiy qilib tanlash mumkin. Chunki xos qiymat haqiqiy ekanligidan qaralayotgan tenglamaning haqiqiyligi kelib chiqadi. Chegaraviy shartlar esa hamisha haqiqiy.

6-xossa. (1)+(2) Shturm-Liuvill masalasining turli xos qiymatlariga mos keluvchi xos funksiyalari o`zaro ortogonaldir, ya’ni xos qiymatlarga mos keluvchi xos funksiyalar uchun ushbu

tenglik o`rinli bo`ladi.

Isbot. Ushbu

ayniyatda bo`lgani uchun (4) tenglik o`rinli bo`lishligi kelib chiqadi.

7-xossa. (1)+(2) Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining xos qiymatlari oddiy (karrasiz), ya’ni bitta xos qiymatga mos keluvchi xos funksiyalar bir-biriga proporsionaldir.

Isbot. xos qiymatga , chiziqli erkli xos funksiyalar mos keladi deb faraz qilaylik. U holda

F

bo`lgani uchun, F,F chiziqli bog`liq bo`ladi. Bu esa farazimizga ziddir.

8-xossa. F funksiya Shturm-Liuvill tenglamasining F bo`yicha uzluksiz differensiallanuvchi ixtiyoriy yechimi bo`lsin. U holda

F

tenglik bajariladi. Bu yerda F

Isbot. Ushbu

F

ayniyatdan F bo`yicha hosila olsak,

F

tenglik kelib chiqadi. (5) va (6) tengliklarni mos ravishda F va F funksiyalarga ko`paytirib, bir-biridan ayirsak, ushbu

F

ayniyat hosil bo`ladi. Bu tenglikni F kesmada integrallasak, ushbu

F

formula kelib chiqadi.

9-xossa. Agar quyidagi chegaraviy masalaning

F

xos qiymatlari F va xos funksiyalari F bo`lsa, u holda ushbu

F

chegaraviy masalaning xos qiymatlari F va xos funksiyalari F bo`ladi. Bu yerda F o`zgarmas son.

Isbot. Ushbu

F

chegaraviy masala noldan farqli yechimga ega bo`lishi uchun F bo`lishi zarur va yetarli. Shartga ko`ra, bu holda oxirgi chegaraviy masala F yechimga ega. Demak, (7) masalaning xos qiymatlari F va xos funksiyalari F bo`ladi.

(1) differensial tenglamaning quyidagi

F

boshlang`ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini F orqali belgilaymiz.

Xuddi shuningdek, (1) tenglamaning ushbu

F

Boshlang`ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini F orqali belgilab olamiz. Bu yerda F yechim (2) chegaraviy shartlardan birinchisini, F yechim esa ikkinchisini qanoatlantiradi. Bu F va F yechimlarni mos ravishda (2) chegaraviy shartlardan ikkinchisiga va birinchisiga qo`yib, ushbu

F

tenglamalarni hosil qilamiz. Bu tenglamalarga (1)+(2) Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining xarakteristik tenglamalari deyiladi. Shturm-Liuvill tenglamasining F va F yechimlaridan tuzilgan ushbu

F

Vronskiy determinantini qaraymiz. Biz yuqorida bu determinant F o`zgaruvchiga bog`liq emasligini ko`rsatgan edik. Shuning uchun ushbu

F

tengliklarni yozishimiz mumkin. Bu tengliklardan

F

kelib chiqadi. Bu yerdagi F,F,F funksiyalar F o`zgaruvchining butun funksiyalari bo`lib, sanoqlita F nollarga ega ekanligini keyinchalik ko`rsatamiz.

F xarakteristik tenglamaning F, F ildizlari Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining xos qiymatlaridan iborat bo`lib, F va F funksiyalar uchun xos funksiyalari bo`ladi va ushbu

F

tenglik bajariladi. Haqiqatdan ham, F soni F tenglamaning ildizi bo`lsa, u holda F bo`lgani uchun (8) tenglik o`rinli bo`ladi. F va F funksiyalar (2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi, bundan esa F son xos qiymat hamda F va F funksiyalar Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining xos funksiyalari ekanligi kelib chiqadi.

Izoh. Odatda, agar (2) chegaraviy shartlardan birinchisi ushbu F ko`rinishda bo`lsa, u holda F yechim F, F boshlang`ich shartlarni qanoatlantiradigan qilib olinadi, agar (2) chegaraviy shartlardan birinchisi F ko`rinishda bo`lsa, u holda F yechim F, F boshlang`ich shartlarni qanoatlantiradigan qilib olinadi.

Agar F soni Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining xos qiymati bo`lib, F unga mos keluvchi xos funksiya bo`lsa, u holda F va F qiymatlardan kamida bittasi noldan farqli bo`ladi, aks holda yechimning yagonaligi haqidagi Koshi teoremasidan F ekanligi kelib chiqadi. Bu esa xos funksiya ta’rifiga ziddir. Xuddi shuningdek, F va F qiymatlardan kamida bittasi noldan farqli bo`lishi ko`rsatiladi.

Quyidagi

F

sonlarga (1)+(2) chegaraviy masalaning normallovchi o`zgarmaslari deyiladi. (1)+(2) masalaning ortonormallangan xos funksiyalari quyidagi tengliklardan topiladi:

F

Ta’rif. Ushbu F,F sonli ketma-ketliklar juftligiga Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining spectral berilganlari (spectral xarakteristikalari) deyiladi.

Ta`rif. Monoton o`suvchi, chapdan uzluksiz ushbu

F

funksiyaga Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining spectral funksiyasi deyiladi.

10-xossa. Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining normallovchi o`zgarmaslari uchun ushbu

F

Tenglik o`rinli bo`ladi. Bu yerda

F

funksiya (1)+(2) Shturm-Liuvill masalasining xarakteristik funksiyasi, F funksiya esa (1) tenglamaning F boshlang`ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimidir.

Isbot. 8-xossada F yechim o`rnida F yechimni olib, F desak, ushbu

F

tenglik hosil bo`ladi.

Quyidagi ikkita holni ko`rib chiqamiz.

1) F bo`lsin. Bu holda F bo`lgani uchun

F

tenglik o`rinli.

2) F bo`lsin. Bu holda F bo`lgani uchun

F

tenglik bajariladi.

Natija. (8) tenglikdan foydalanib, (10) tenglikni quyidagi ko`rinishda yozish mumkin:

F

Natija. (10) formuladan (1)+(2) Shturm-Liuvill chegaraviy masalasining

F

xarakteristik funksiyasi karrali ildizga ega emasligi kelib chiqadi.