1-§. Xos qiymatlarning va xos funksiyalarning sodda xossalari

(2.16)

(2.16) dan hosila olamiz:

(2.17)

Bu yerda

(2.18)

(2.9) tenglikka ko`ra (2.18) ayniyatni quyidagicha yozamiz:

(2.19)

Agar tenglikni hisobga olsak, tenglik (2.19) ushbu

(2.20)

ko’rinishni oladi. Agar (2.16) tenglikni hisobga olsak,

(2.21)

kelib chiqadi.

Ma`lumki, xos funksiya oraliqda ta ildizga ega. Agar funksiyani tuzib olsak, u oraliqda ta ildizga ega. Roll teoremasiga ko`ra, har bir oraliqda funksiyaning kamida bitta ildizi bor. Demak, funksiya oraliqda kamida ta ildizga ega. Agar funksiyaning oraliqdagi ildizlar soni tadan ko`p bo`lsa, masalan ta bo`lsa, (2.13) ga asosan kesmada funksiyaning ildizlar soni ta bo`ladi. (2.12) ga asosan Roll teoremasiga muvofiq funksiyaning oraliqda kamida ta ildizi bo`ladi. Ziddiyat, chunki funksiyaning oraliqda aniq ta ildizi bor. Demak, funksiyaning oraliqda aniq ta ildizi bor ekan. Bu fikrdan xos funksiyalar (2.3)+(2.4) masalaning barcha xos funksiyalaridan iborat bo`lishi kelib chiqadi.

Agar bo`lib, funksiya (1) tenglamaning ixtiyoriy yechimi bo`lsa, ushbu