1. Agar funktsiya a ni b ga turli qiymatli akslantirish bo‘lsa, u holda funktsiya a va b to‘plamlarning o‘zaro bir qiymatli mosligi

1- ta’rif. ko‘rinishdagi ko‘phad Jegalkin ko‘phadi deb ataladi, bu yerda hamma o‘zgaruvchilar birinchi darajada qatnashadi, qiymatlar satrida hamma lar har xil bo‘ladi, .
2- ta’rif. ko‘rinishdagi funksiya chiziqli funksiya deb ataladi, bu yerda . Chiziqli funksiyaning ifodasidan ko‘rinib turibdiki, ta argumentli chiziqli funksiyalar soni ga teng va bir argumentli funksiyalar doimo chiziqli funksiya bo‘ladi.
Jegalkin ko‘phadi ko‘rinishidagi har bir funksiyaning argumentlari soxta emas argumentlar bo‘ladi. Haqiqatan ham, agar shunday argument bo‘lsa, u holda ixtiyoriy funksiyani quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin: .
Bu yerda funksiya aynan 0ga teng emas, aks holda argument funksiyaning (ko‘phadning) argumentlari safiga qo‘shilmasdi.
Endi argumentlarning shunday qiymatlarini olamizki, bo‘lsin. U holda funksiyaning qiymati argumentning qiymatiga bog‘liq bo‘ladi. Demak, soxta argument emas.
Jegalkin Ivan Ivanovich (Жегалкин Иван Иванович 1869-1947) – sovet matematigi. I. I. Jegalkin XX asrning 30- yillari boshida MDUda birinchi bo‘lib matematik mantiq bo‘yicha ilmiy seminar tashkil etgan.
3. Eyler sikli. Eyler grafi.Teorema (Eyler 1752). Tekis va bog‘lamli graf uchun tenglik o‘rinlidir, bu yerda , , – yoqlar soni.Isboti. Teoremani isbotlash uchun matematik induksiya usulini grafdagi qirralar soni bo‘yicha qo‘llaymiz. Induksiya usulining bazasi sifatida bo‘lgan holni qaraymiz. Bu holda teoremaning tasdig‘iga ko‘ra bo‘lishi kerak. Haqiqatdan ham, tekis va bog‘lamli graf bo‘lgani uchun, u yagona uchdan tashkil topadi va bu uch yagona (cheksiz) yoqda yotadi, ya’ni va . Demak, bu holda teoremaning tasdig‘i to‘g‘ridir.Induksion o‘tish: teoremaning tasdig‘i uchun to‘g‘ri bo‘lsin deb faraz qilib, uning uchun ham to‘g‘ri ekanligini ko‘rsatamiz. Farazimizga ko‘ra tenglik o‘rinlidir. ta qirraga ega tekis va bog‘lamli grafga ( )- qirrani (uni bilan belgilaymiz) shunday qo‘shish kerakki, bunda qirra graf joylashgan tekislikda yotsin va hosil bo‘lgan graf ham bog‘lamli bo‘lsin. Bu amalni bajarganda quyidagi uchta holdan biri ro‘y beradi:
1) qo‘shilayotgan qirra sirtmoqdir – bu holda qirra, albatta, grafdagi uchlardan biriga insident bo‘lib, yoqlardan birida yotadi va bu yoqni ikkiga (sirtmoq yotgan yoqning sirtmoq chizig‘i bilan chegaralangan ichki va tashqi qismlari) ajratadi, ya’ni uchlar soni o‘zgarmaydi, yoqlar soni esa birga oshadi: ;
2) qo‘shilayotgan qirra grafda bor bo‘lgan ikkita uchlarni tutashtiradi – bu holda ham grafning biror ( qirra yotgan) yoqi ikkiga ajraladi, uchlari soni esa o‘zgarmaydi: ;
3) qo‘shilayotgan qirra sirtmoq emas va u grafdagi uchlardan faqat bittasiga insidentdir – bu holda grafning biror yoqida qirraga insident bo‘lgan bitta boshqa uch yasaladi (grafning uchlari soni bittaga oshadi) va qirra joylashgan yoq yaxlitlikni saqlagan holda qirrani o‘z ichiga oladi (yoqlar soni o‘zgarmaydi): .
Teoremaning tasdig‘idagi tenglik Eyler formulasi deb ataladi. Grafda Eyler tsikli mavjud bulishi uchun: a) Graf bog`langan bo'lishi;
b) Grafning barcha tugunlarining lokal darajalari juft bo`lishi kerak; Grafda Eyler zanjiri mavjud bo`lishi uchun: Graf boglangan bo'lishi;
b) Grafning 2 ta tuguni(boshlanish va oxirgi) lokal darajalari tos bo`lib, solgan barcha tugunlarining lokal darajalari juft bo`lishi kerak.