1-амалий машғулот. Тўпламлар ва акслантиришлар. Математик индукция усул
Download 475.06 Kb. Pdf ko'rish
|
1-амалий
1
индукция усули. 1 0 . Математик белгилар. Математикада тез-тез учраб турадиган сўз бирикмалари ўрнига махсус белгилар ишлатилади. Биз қуйида улардан фойдаланамиз: - тегишлилик белгиси; - тегишли эмаслик белгиси; -қисм белгиси; -умумийлик квантори белгиси (“ҳар қандай”, “ихтиёрий”, “барчаси учун” сўзлари ва сўз бирикмалари ўрнида ишлатилади); - мавжудлик квантори белгиси (“мавжудки”, “топиладики” сўзлари ўрнида ишлатилади); - импликация белгиси (агар … бўлса, у ҳолда ... бўлади ибораси ўрнида ишлатилади); - эквивалентлик белгиси; - йиғинди (бирлашма) белгиси; - кўпайтма (кесишма) белгиси; - айирма белгиси.
элементлари кичик ҳарфлар билан белгиланади. A ва B тўпламлар берилган бўлсин.
a A
a B
A тўплам B нинг қисми эканини билдиради: A B . 2. A B
B A
A ва B тўпламларнинг тенглигини ифодалайди: A B .
3. A ва B тўпламлар йиғиндиси ( A B ) қуйидагини a A B a A , ёки a B , ёки a A a B , англатади. 4. A ва B тўпламлар кўпайтмаси A B қуйидагини a A B
a A , a B
билдиради. 5. A тўпламдан B тўпламнинг айирмаси A B қуйидагини a A
a A , a B
англатади. 3 – м и с о л . Ушбу A B B
A B A B тенглик исботлансин. ◄a A B B A бўлсин. У ҳолда a A
a A , a B
2
ёки a B
a B , a A
бўлиб, булардан a A B , a A B бўлиши келиб чиқади. Демак, a A B A B ва A B B
A B A B (3) бўлади.
A B A B бўлсин. У ҳолда a A B
a A , ёки a B ,
A B a A , a B , ёки a A a B , ёки a A a B , бўлиб, булардан a A
Демак, a
B B A ва
B A B A B B A (4) бўлади. (3) ва (4) муносабатлардан топамиз: A B B
A B A B .► Математик индукция усули. Натурал n сонга боғлиқ бирор Ф n фикр, мулоҳазани (исботланиши керак бўлган тасдиқни):
1) n 1 бўлганда (баъзан n n n 0 0 , 1 бўлганда) Ф n нинг ўринли бўлиши кўрсатилса,
2) n k бўлганда бу Ф n ни ўринли деб фараз қилиниб,
3) n k 1
учун Ф n нинг ўринли бўлиши исботланса, у ҳолда Ф n фикр
барча n лар учун ўринли бўлади. Фикрни шу йўл билан исботлаш математик индукция усули билан исботлаш дейилади.
n n n 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 2 2 3
2
тенглик исботлансин. ◄(1) тенглик Ф n фикрни ифодаласин. Бу фикр n 2 бўлганда (Ф 2
фикр) ўринли бўлади, чунки 2 1 1 3 1 3 1 1 4 4 2 2 2 .
k бўлганда Ф n фикр (яъни Ф k ) ўринли бўлсин деб фараз қиламиз: k k k 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 2 2 3
. Энди Ф n фикрни n k 1
учун (яъни Ф k+1 ни) ўринли бўлишини кўрсатамиз: 3
. 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ... 3 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 k k k k k k k k k k k k
Демак, (1) тенглик барча n n 2 лар учун ўринли бўлади.► 2 – м и с о л . Қавариқ n бурчакли кўпбурчакнинг ички бурчаклари йиғиндиси
2 2 ... 2 1 n d n S n n (2) бўлиши исботлансин, бунда d - тўғри бурчак. ◄Маълумки, n 3 бўлганда кўпбурчак учбурчакка айланиб, унинг ички бурчаклари йиғиндиси 2 d га тенг.
Демак, n 3 да
d S
3 2 2 3 2 1 3
бўлиб, (2) тенглик ўринли. Айтайлик, n бурчакли кўпбурчакнинг учлари n A A A 1 2 , ,...,
бўлсин. Бу кўпбурчакнинг A 1 ва
n A 1 учларини тўғри чизиқ кесмаси билан бирлаштириб, берилган n бурчакли кўпбурчакни учлари n A A A 1 2 1 , ,..., да бўлган n 1 бурчакли кўпбурчак ва учлари n n A A A 1 1 бўлган учбурчакларга ажратамиз (1-чизма).
1-чизма. Равшанки, d n 2 2 1 . Учлари n A A A 1 2 1 ... нуқталарда бўлган n ( 1) бурчакли кўпбурчак учун (2) формула ўринли бўлсин деб фараз қилайлик:
3 2 2 1 2 ... 2 1 2 3 2 1 1 d n d n n n
4
Энди n бурчакли кўпбурчакнинг ички бурчаклари йиғиндиси учун (2) тенгликнинг ўринли бўлишиникўрсатамиз: . 2 2 2 3 2 ... ... 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 d n d d n n n n n
Демак, (2) тенглик барча n
3 лар учун ўринли.► 1. Ихтиёрий A B C D , , , тўпламлар учун қуйидаги муносабатлар исботлансин. 1.
B C A B C . 2.
B C A B C . 3.
A B C A C B C . 4. A
C A C B C . 5. A B C A C B C . 6. A B B C C
A B C A B C . 7.
A C B D A B C D . 8.
.
9. A B C A B C . 10. A B C A B C . 11. A C B A B C . 12. A B A A B
. 13. A A B A . 14. Агар A B C
B C нинг ўринли бўлиши келиб чиқадими? 15. Агар A B C бўлса, A B C нинг ўринли бўлиши келиб чиқадими? 16. A B A C A B C . 17. A B C A C B C . 5
C A B A C . 19. Агар A ва B чекли тўпламлар бўлиб, уларнинг элементлари сони мос равишда
n A , n B бўлса,
n A B n A n B n A B бўлиши исботлансин. 20. Агар A чекли тўплам бўлиб, унинг элементлари сони m га тенг бўлса, бу тўпламнинг барча қисмий тўпламлари тўпламининг элементлари сони m 2 та бўлиши исботлансин. 2. Математик индукция усулидан фойдаланиб, қуйидаги тенгликларнинг ихтиёрий натурал сон n учун ўринли бўлиши исботлансин: 21. 2 1 2 ... 5 3 2 1 n n . 22. n n n n 2 2 2 1 2 1 1 2 ... 6
.
n n n 1 2 1 2 2 3 3 4 ... 1 3 . 24. 1 4 1 4 3 4 1 ... 13 9 1 9 5 1 5 1 1 n n n n . 25. 3 1 2 1 2 2 1 2 ... 5 3 1 2 2 2 n n n n . 26.
n n n n n 1 2 2 2 2 1 1 2 3 4 ... 1 1 2 . 27. n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1 ... ... 2 3 4 2 1 2 2
. 28.
n n n n n n 1 2 3 2 3 4 3 4 5 ... 1 2 1 2 3 4
. 29.
n n n n 2 2 2 1 1 2 ... 1 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1 . 6
2 2 1 1 1 ... 9 1 1 4 1 1 2 n n n . 3. Математик индукция усулидан фойдаланиб, қуйидаги йиғиндилар ҳисоблансин: 31. n 1 2 3 ...
. 32. 3 3 3 ... 2 1 n . 33. n n 1 1 1 ... 1 3 3 5 2 1 2 1 . 34. n n 1 2 2 5 3 8 ... 3 1 .
n n 2 3 1 3 5 2 1 ... 2 2 2 2
. 36. 2 1 1 ... 4 3 2 1 3 2 1 1 n n n . 37. ! ... ! 3 3 ! 2 2 ! 1 1 n n 38. arctg arctg arctg n 2 1 1 1 ... 2 8 2 4. Тенгсизликлар исботлансин. 39. n n n 1 1 1 1 ... 2 2 3
. 40. n n 1 1
1 , 1 n . 41. 2 1 2 1 ... 2 1 1 1 n n n . 42. n 2 2 2 1 1 1 ... 1 2 3 n 1 . 43. n n n! 3
. 44. n n n n 1 1 n 3 . 45. n n 1 2 1 3 . 7
1 ... c c c c илдиз та n c 0 . 47. tgn ntg n 2 . 48.
lg n n 1 1 1 lg 2 ... lg
. 5. Тенгликлар исботлансин: 49. 2 sin 2 2 1 2 sin cos ... 2 cos cos 2 1 x x n nx x x . 50. n n n sin cos cos cos ...cos 2 4 8 2 2 sin 2 . 51. sin 2 2 sin 2 cos ... 2 cos 2 cos cos 1 1 2
n n . 52. 2 sin 2 sin 2 1 sin sin ... 2 sin sin nx x x n nx x x . 53. n n n n x x x x tg tg tg ctg ctgx 2 2 1 1 1 1 ... 2 2 2 2 2 2 2 2
n x . 54. tgn tg tg tg tg tg n tgn n tg 2 2 3 ... 1
Download 475.06 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling