1-амалий машғулот. Тўпламлар ва акслантиришлар. Математик индукция усул

1 

 

1-амалий машғулот. Тўпламлар ва акслантиришлар. Математик 

индукция усули. 

 

1

0

. Математик белгилар. Математикада тез-тез учраб турадиган 

сўз  бирикмалари ўрнига  махсус белгилар ишлатилади. Биз қуйида улардан 

фойдаланамиз: 



- тегишлилик  белгиси; 



- тегишли эмаслик  белгиси; 



-қисм  белгиси; 



-умумийлик  квантори  белгиси  (“ҳар  қандай”,  “ихтиёрий”,  “барчаси 

учун” сўзлари  ва сўз бирикмалари  ўрнида ишлатилади); 



-  мавжудлик  квантори  белгиси  (“мавжудки”,  “топиладики”  сўзлари 

ўрнида ишлатилади); 



-  импликация  белгиси  (агар  …  бўлса,  у  ҳолда  ...  бўлади  ибораси 

ўрнида ишлатилади); 



- эквивалентлик белгиси; 

- йиғинди (бирлашма) белгиси; 

- кўпайтма (кесишма) белгиси; 

- айирма  белгиси. 

2

0

.  Тўплам.  Одатда  тўпламлар  бош  ҳарфлар  билан  уларнинг 

элементлари кичик ҳарфлар билан белгиланади.  A  ва  B  тўпламлар берилган 

бўлсин. 

 

1. 

a

A

  

    a

B



  бўлиши 

A   тўплам  B нинг  қисми  эканини 

билдиради:  A

B



. 

 

2. 

A

B



, 

B

A



  бўлиши 

A   ва B   тўпламларнинг  тенглигини 

ифодалайди:  A B



. 

 

3. 

A  ва  B  тўпламлар йиғиндиси ( A

B

) қуйидагини 

a

A

B





  a

A



, ёки  a B



, ёки a A a B

,





 

англатади. 

4. 

A  ва  B  тўпламлар кўпайтмаси 





A

B

 қуйидагини 

a

A

B



  



   a

A



,  a

B



 

билдиради. 

5. 

A  тўпламдан  B  тўпламнинг айирмаси  A





B  қуйидагини 

a

A



B   



   a

A



,  a

B



 

англатади. 

3 – м и с о л .  Ушбу 

A





B

B









A

A

B







A

B  

тенглик исботлансин. 

◄a

A







B

B





A  бўлсин. У ҳолда 

a

A



B   



   a

A



,  a

B



 

2 

 

ёки 

a

B



A  



   a

B



,  a

A



 

бўлиб, булардан  a A B



,  a

A

B



 бўлиши келиб чиқади.  

Демак, 





a

A

B







A

B  ва  

A





B

B









A

A

B







A

B               (3) 

бўлади. 





a

A

B







A

B  бўлсин. У ҳолда 





a

A

B



  



   a

A



, ёки a B



, 

a

A

B





  a

A



,  a

B



, ёки a A a B

,





 ёки 

a

A a

B

,





 

бўлиб, булардан  a A



B  ёки  a

B



A бўлиши келиб чиқади.  

Демак, a

A







B

B





A

 ва 





A

B





A

B

A







B

B





A              (4) 

бўлади.  (3) ва (4) муносабатлардан топамиз: 

A





B

B









A

A

B







A

B

.► 

 

Математик индукция усули. 

Натурал  n  сонга  боғлиқ  бирор  Ф

n

  фикр,  мулоҳазани  (исботланиши  керак 

бўлган тасдиқни): 

 

1)  n

1



  бўлганда  (баъзан 

n

n n

0

0

,

1





  бўлганда)  Ф

n

  нинг  ўринли 

бўлиши кўрсатилса, 

 

2)  n

k



 бўлганда бу Ф

n

 ни ўринли деб фараз қилиниб, 

 

3)  n

k

1

 

 учун Ф

n

 нинг ўринли бўлиши исботланса, у ҳолда Ф

n

 фикр 

барча  n  лар  учун  ўринли  бўлади.  Фикрни  шу  йўл  билан    исботлаш 

математик индукция усули билан исботлаш дейилади. 

 

1 – м и с о л . Ушбу 

n

n

n

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

... 1

2

2

3







 









 





 







 



     





n

2



       (1) 

тенглик исботлансин. 

◄(1)  тенглик  Ф

n

  фикрни  ифодаласин.  Бу  фикр  n

2



бўлганда  (Ф

2

 

фикр) ўринли бўлади, чунки 

2

1

1

3

1 3

1

1

4

4

2 2

2



    

. 

 

n

k



 бўлганда Ф

n

 фикр (яъни Ф

k

) ўринли бўлсин деб фараз қиламиз: 

k

k

k

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

... 1

2

2

3







 









 





 







 



. 

Энди Ф

n

 фикрни  n

k

1

 

 учун (яъни Ф

k+1

 ни) ўринли бўлишини кўрсатамиз: 

3 

 





















.

1

1

1

2

1

1

2

1

2

1

1

1

1

1

2

1

1

1

1

1

1

...

3

1

1

2

1

1

2

2

2

2

2

2













































































 











 











 

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

 

 

Демак, (1) тенглик барча  n 





n

2



 лар учун  ўринли бўлади.► 

2  –  м  и  с  о  л  .  Қавариқ  n   бурчакли  кўпбурчакнинг  ички  бурчаклари 

йиғиндиси 









3

2

2

...

2

1

















n

d

n

S

n

n







           (2) 

бўлиши исботлансин, бунда d - тўғри бурчак. 

◄Маълумки,  n 3



  бўлганда  кўпбурчак  учбурчакка  айланиб,  унинг 

ички бурчаклари йиғиндиси 2 d  га тенг. 

 

Демак,  n 3



 да  





d

d

S















2

3

2

2

3

2

1

3







 

бўлиб, (2) тенглик ўринли. 

 

Айтайлик,  n бурчакли кўпбурчакнинг учлари  

n

A A

A

1

2

,

,...,

 

бўлсин.  Бу  кўпбурчакнинг 

A

1

  ва 

n

A

1



  учларини  тўғри  чизиқ  кесмаси  билан 

бирлаштириб,  берилган  n  бурчакли  кўпбурчакни  учлари 

n

A A

A

1

2

1

,

,...,



  да 

бўлган 





n

1



  бурчакли  кўпбурчак  ва  учлари   

n

n

A A

A

1

1



  бўлган 

учбурчакларга ажратамиз (1-чизма). 

 

 

 

1-чизма. 

 

Равшанки, 

d

n

2

2

1













. 

Учлари   

n

A A

A

1

2

1

...



  нуқталарда  бўлган  n

(

1)



  бурчакли  кўпбурчак 

учун (2) формула ўринли бўлсин деб фараз қилайлик: 





















.

3

2

2

1

2

...

2

1

2

3

2

1

1

d

n

d

n

n

n













































 

4 

 

Энди  n бурчакли кўпбурчакнинг ички бурчаклари йиғиндиси учун (2) 

тенгликнинг ўринли бўлишиникўрсатамиз: 

















.

2

2

2

3

2

...

...

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

d

n

d

d

n

n

n

n

n



































































 

Демак, (2) тенглик барча  n 





n

3



 лар учун ўринли.► 

 

1.  Ихтиёрий 

A B C D

, , ,

  тўпламлар  учун  қуйидаги  муносабатлар 

исботлансин. 

1. 









A

B

C

A

B

C



. 

2. 









A

B

C

A

B

C



. 

3. 







 



A

B

C

A

C

B

C



. 

4.  A









B

C

A

C







B

C . 

5.  A





B

C

A







C

B





C . 

6.  A





B

B





C

C









A

A

B

C

A

B

C



. 

7. 



 

 

 



A

C

B

D

A

B

C

D



. 

8.             

 

 

 

.

 

 

9.  A





B

C

A







B

C . 

10. 





A

B

C

A

B







C . 

11. 





A

C

B

A







B

C . 

12.  A

B

A

A

B

 

. 

13. 





A

A

B

A



. 

14. Агар  A B

C



 бўлса,  A

B

C



 нинг ўринли бўлиши келиб чиқадими? 

15. Агар  A

B

C



 бўлса,  A B

C



 нинг ўринли бўлиши келиб чиқадими? 

16. 





A

B





A

C

A

B







C . 

17. 





A

B

C

A







C

B





C . 

5 

 

18.  A





B

C

A







B

A





C . 

19.  Агар   

A   ва  B   чекли  тўпламлар  бўлиб,  уларнинг  элементлари  сони  мос 

равишда 

 

n A

, 

 

n B

 бўлса, 





 

 





n A

B

n A

n B

n A

B







 

бўлиши исботлансин. 

20.  Агар 

A     чекли тўплам бўлиб, унинг элементлари сони  m   га  тенг бўлса,  

бу тўпламнинг барча қисмий тўпламлари тўпламининг элементлари сони 

m

2  

та бўлиши исботлансин. 

2. 

Математик  индукция  усулидан  фойдаланиб,  қуйидаги 

тенгликларнинг  ихтиёрий  натурал  сон  n  учун  ўринли  бўлиши 

исботлансин: 

 

21. 





2

1

2

...

5

3

2

1

n

n















. 

22. 







n n

n

n

2

2

2

1 2

1

1

2

...

6







 



. 

23. 











n n

n

n n

1

2

1 2

2 3

3 4

...

1

3





      





. 

24. 







1

4

1

4

3

4

1

...

13

9

1

9

5

1

5

1

1























n

n

n

n

. 

25. 











3

1

2

1

2

2

1

2

...

5

3

1

2

2

2



















n

n

n

n

. 

26. 

 

 





n

n

n n

n

1

2

2

2

2

1

1

2

3

4

...

1

1

2











  



 



. 

27. 

n

n

n

n

1

1

1

1

1

1

1

1

...

...

2

3

4

2

1

2

2

    





 





. 

28. 















n

n n

n

n

n

n

1 2 3

2 3 4

3 4 5

...

1

2

1

2

3

4

         













. 

29. 















n n

n

n

n

n

2

2

2

1

1

2

...

1 3

3 5

2

1 2

1

2 2

1





 













. 

6 

 

30. 





2

2

2

1

1

1

...

9

1

1

4

1

1

2

































 











 

n

n

n

. 

3. 

Математик  индукция  усулидан  фойдаланиб,  қуйидаги 

йиғиндилар ҳисоблансин: 

31. 

n

1

2

3

...

   

. 

32. 

3

3

3

...

2

1

n







. 

33. 







n

n

1

1

1

...

1 3

3 5

2

1 2

1



 









. 

34. 





n

n

1 2

2 5

3 8

...

3

1

      



. 

35. 

n

n

2

3

1

3

5

2

1

...

2

2

2

2







 

. 

36. 







2

1

1

...

4

3

2

1

3

2

1

1



















n

n

n

. 

37. 

!

...

!

3

3

!

2

2

!

1

1

n

n

















 

38.  arctg

arctg

arctg

n

2

1

1

1

...

2

8

2



 

 

 

 

 

4. Тенгсизликлар  исботлансин. 

39.  n

n

n

1

1

1

1

...

2

2

3

 



 



. 

40. 





n

n

1

1







  

   

 

 





1

,

1







n



. 

41. 

2

1

2

1

...

2

1

1

1













n

n

n

. 

42. 

n

2

2

2

1

1

1

...

1

2

3



 



 

 

 





n

1



. 

43. 

n

n

n!

3

 

  

 

. 

44. 





n

n

n

n

1

1







  

 

 

 





n

3



. 

45. 

n

n

1

2

1

3



















. 

7 

 

46. 

1

...











c

c

c

c

илдиз

та

n



















 

 





c

0



. 

47. 

tgn

ntg







   

 

 

 





n

2



. 

48. 









lg n

lg

n

n

1

1

1

lg 2

...

lg







 

. 

5. Тенгликлар исботлансин: 

49. 

2

sin

2

2

1

2

sin

cos

...

2

cos

cos

2

1

x

x

n

nx

x

x













. 

50. 

n

n

n

sin

cos

cos

cos

...cos

2

4

8

2

2 sin

2



















. 

51. 













sin

2

2

sin

2

cos

...

2

cos

2

cos

cos

1

1

2















n

n

n

. 

52. 

2

sin

2

sin

2

1

sin

sin

...

2

sin

sin

nx

x

x

n

nx

x

x











. 

53. 

n

n

n

n

x

x

x

x

tg

tg

tg

ctg

ctgx

2

2

1

1

1

1

...

2

2

2

2

2

2

2

2



 





   







n

x



. 

54. 





tgn

tg

tg

tg

tg

tg n

tgn

n

tg

2

2

3

...

1























 









.