1-amaliy ish: Eng kichik kvadratlar (ekk) usulining analitik talqini

^{1-amaliy ish}
Amaliy ish: Eng kichik kvadratlar (EKK) usulining analitik talqini
Tabiatning ko‘p hodisalarini, iqtisodiy-ijtimoiy jarayonlarni o‘rganishda, tabiiy fanlarda, murakkab inshootlarni loyihalashtirishda iqtisodiy optimal modellashtirishda o‘tkazilgan sinovlar asosida to‘plangan ma’lumotlar bo‘yicha tuzilgan empirik formulalardan foy- dalaniladi.
Empirik formulalarni hosil qilishning eng samarali usullaridan biri – bu eng kichik kvadratlar (EKK) usulidir. EKK usuli funksiyalarni ekstremumga tekshirishda va noma’lum funk- siyalarni approksimatsiyalash (tekislash) bilan tuzishda samarali qo‘llaniladi.
Mazkur usulning matnini ikkita x va y o‘zgaruvchilarning bog‘lanishiga nisbatan keltiramiz.
Faraz qilaylik, o‘tkazilgan n ta kuzatuvlar natijasida x ning ketma-ket qiymatlari hosil qilingan. Ushbu kuzatuvlarda y ning ham mos qiymatlari topilgan. Kuzatilgan ma’lumotlar asosida quyidagi jadvalni tuzamiz:

x	x1	x2	…	xn
y	y1	y2	…	yn

Agar ushbu jadvaldagi qiymatlardan tuzilgan nuqtalar tekislikda koordinatalar tizimida birorta to‘g‘ri chiziq atrofida tarqalgan bo‘lsa, unda x va y lar o‘rtasida chiziqli bog‘lanish mavjud deb faraz qilinadi, ya’ni

(3.1)

Bu yerda a₀ va a₁ lar hozircha noma’lum parametrlar. Ravshanki, x=x_i da (3.1) formulaga asosan ni hosil qilamiz va kuzatuvlar natijasida hosil qilingan jadvalda keltirilgan qiymatlar ham mavjud. Ushbu ikkita va y qiymatlarni hisoblashda ma’lum xatolikka yo‘l qo‘yilgan deb faraz qilaylik, ya’ni

(3.2)
Ushbu xatoliklardan quyidagi kvadratik funksionalni tuzamiz:
(3.3)
Bunda a₀ va a₁ parametrlarni shunday tanlash kerakki, xatoliklar yig‘indisining kvadrati mumkin bo‘lgan eng kichik qiy- matga erishadigan bo‘lsin. S(a₀, a₁) ni ikkita a₀ va a₁ o‘zgaruv- chilarning funksiyasi sifatida qarab, masalani funksiyaning mi- nimumini topishga keltiramiz.

Ko‘p o‘zgaruvchilik funksiyalar nazariyasiga asosan ekstremum mavjud bo‘lishining zaruriy shartlari uning barcha o‘zgaruvchi- lar bo‘yicha hisoblangan xususiy hosilalari nolga teng bo‘lishidan foydalanib, (3.3) ni differensiallab, tenglamalar tizimini hosil qilamiz:

Ushbu tenglamalarni qulayroq tarzda yozib olamiz:

(3.4)

Shunday qilib, noma’lum a₀ va a₁ parametrlarga nisbatan ikkita (3.4) tenglamalar tizimini hosil qildik. Ushbu tengla- malar tizimi EKK usulining normal tenglamalar tizimi deb ataladi. (3.4) tenglamalar tizimini yechib, noma’lum parametrlarni topamiz:

(3.5)

Ushbu aniqlangan a₀ , a₁ qiymatlarni empirik formulaga qo‘yib, qaralayotgan masala funksional bog‘lanishning eng yaxshi yaqinlashuvchi (approksimatsiyalovchi) funksiyasini hosil qilamiz.

Agar x va y o‘rtasidagi bog‘lanish jarayoni ushbu
(3.6)
ko‘rsatkichli funksiyasi bilan ifodalangan bo‘lsa, unda noma’lum parametrlar a₀ va a₁
(3.7)

tenglamalar tizimini yechish bilan topiladi.

Agar x va y o‘zgaruvchilar o‘rtasida giperbolik bog‘lanish

(3.8)

mavjud bo‘lsa, unda uning parametrlari a₀ va a₁ lar ushbu

(3.9)

tenglamalar tizimidan aniqlanadi.

Agar nuqtalar tekislikda birorta egri chiziq (parabola) atrofida tarqalgan bo‘lsa, unda approksimatsiyalovchi funksiya sifatida kvadrat uchhad ni olish mumkin.

(3.10)

tenglamalar tizimini yechish bilan topiladi.