1. Амплитудная модуляция Математические аспекты

Принципы создания частотно модулированного сигнала

Основной принцип FM модуляции заключается в том, что амплитуду исходного аналогового сигнала можно представить как небольшое изменение частоты несущего колебания. Ниже показана реализация сказанного.

Из рисунка видно, что разные амплитуды исходного сигнала (график белого цвета) соответствуют определенным частотам несущего колебания (красный график). Математически можно представить это уравнением, характеризующим FM модуляцию.
Во-первых, обозначим исходный сигнал в виде:
Во-вторых, можно представить синусоидальную несущую уравнением:

Собственно математический процесс модуляции несущей исходным сигналом m(t) требует двухступенчатого процесса. Во-первых, исходный сигнал необходимо проинтегрировать по времени, чтобы получить зависимость фазы от времени, Ө(t). Это делает возможным процесс модуляции, так как ЧМ реализуется стандартной схемой фазовой модуляции. Блок-схема FM передатчика представлена ниже.

Как показано на вышеприведённой блок-схеме, интеграция исходного сигнала даёт зависимость фазы от времени, которая выражается следующим образом:

Ещё раз уточним, что полученная модуляция является фазовой, поскольку определяется изменением фазы несущей во времени. Этот процесс осуществляется квадратурным модулятором, принцип действия которого показан ниже:

Полученный в результате фазовой модуляции сигнал s(t) является FM модулированным сигналом. Его уравнение приведено ниже:

Упрощённо это уравнение выглядит так:

Индекс фазовой модуляции

Одним из важных аспектов частотной модуляции является индекс фазовой модуляции. Мы уже установили, что изменения в амплитуде исходного сигнала соответствуют изменениям частоты несущего колебания. Фактором, который определяет, насколько несущее колебание отклоняется от центральной частоты, является индекс модуляции. Математически наш интегрированный исходный сигнал уже идентифицирован следующим образом:

Можно упросить это уравнение так:

В приведённом выше уравнении ∆ƒ – это частотное отклонение и оно представляет собой максимальную разницу между мгновенной частотой и частотой несущего колебания. По сути, отношение ∆ƒ к частоте несущего сигнала и есть индекс модуляции. Данный индекс, β, определяется уравнением:

Таким образом, интегрированный исходный сигнал может быть представлен как

В результате, можно подставить это выражение в нашу исходную формулу, представляя полученный FM сигнал следующим уравнением:

Влияние индекса на модулированную синусоиду таково: чем больше индекс модуляции, тем больше мгновенная частота сигнала может отличаться от частоты несущего колебания. Ниже проиллюстрирован FM сигнал, центральная частота которого равна 500 кГц. Причем указано, что девиация частоты равна 425 кГц. В результате, модулированный сигнал будет иметь мгновенные частоты в диапазоне от 75 кГц до 925 кГц. Широкий диапазон частот особенно заметен при минимальной амплитуде модулирующего сигнала (baseband), когда частота модулируемого сигнала очень мала.

Сигнал, приведённый на рисунке, можно сравнить с FM сигналом, девиация которого сравнительно мала. Ниже представлен FM сигнал с девиацией 200 кГц.

Как видим, область изменения мгновенной частоты в модулированном сигнале меньше, если меньше FМ девиация.

Заключение

Частотная модуляция (ЧМ, FM) является важной из-за широкого коммерческого применения и простоты использования. Как было рассмотрено выше, частотная модуляция может быть сведена к фазовой модуляции с простым интегратором. В результате, сигналы с модулированной частотой могут генерироваться векторных генератором сигналов National Instruments, так как для этого не требуется ничего кроме IQ модулятора.

Литература

[1]. Simon Haykin, Communications Systems.

[2]. B.P. Lathi, Modern Digital Analog and Digital Communications.