1. Aniq integralga keltiriladigan masalalar haqida

3-ma’ruza 

Aniq integral va uning asosiy hossalari. Aniq integralni hisoblash usullari. Nyton-Leybnits 

formulasi. Aniq integralga keltiruvchi masalalar. Aniq integralning ta’rifi va uning 

xossalari. Yuqori chegarasi bo‘yicha aniq integralning hosilasi. O‘zgaruvchini almashtirish 

va bolaklab integrallash usullari, N’yuton-Leybnits formulasi.Aniq integral tadbiqlari: 

aniq integral yordamida yuzalarni, yoy uzunligini va jism hajmini hisoblash 

To‘g’ri to‘rtburchaklar, trapetsiyalar va Simpson formulalari yordamida aniq 

integrallarni taqribiy hisoblash.  

Reja 

1.  Aniq integralga keltiriladigan masalalar haqida. 

2. Aniq integralning ta’rifi va uning geometrik ma’nosi. 

3. Aniq integralning asosiy xossalari.  

4.  Aniq integralni hisoblash. Nyuton-Leybnits formulasi.  

5. Aniq integral yordamida yassi figuralar yuzlarini hisoblash. 

6.  Egri chiziq yoyi uzunligini hisoblash.  

7.  Aylanma jism hajmini hisoblash.       

8. Trapetsiyalar formulasi. 

9. Simpson formulasi. 

Tayanch ibora va tushunchalar 

Aniq  integral,  aniq  integralning  asosiy  xossalari,  Nyuton-Leybnits  formulasi,trapetsiyalar 

formulasi,Simpson formulasi. 

 

1.  Aniq  integralga  keltiriladigan  masalalar  haqida.  Aniq  integral  matematik 

tahlilning eng asosiy amallaridan biridir. 

Yuzalarni,  yoy  uzunliklarini,  hajmlarni,  o’zgaruvchan  kuchning  bajargan  ishini  hamda 

iqtisodning bir qancha masalalari aniq integralga keltiriladi. 

2.  Aniq  integralning  ta’rifi  va  uning  geometrik  ma’nosi.  Yuqoridagi  masalani 

umumiy  holda  qaraymiz.        kesmada  uzluksiz    funksiya  berilgan  bo’lsin. 

 

b

a,

    kesmani 

n

i

x

x

x

i

i

i

,

1

,

1











    qismiy  kesmalarga  ajratamiz,  har  bir  qismiy  kesmada  bittadan 

n

c

c

c

,

....

,

,

2

1

 

nuqtalar  tanlaymiz.  Bu  nuqtalarda 

)

(

i

c

f

  funksiya  qiymatlarini  hisoblab 

n

n

x

c

f

x

c

f

x

c

f













)

(

....

)

(

)

(

2

2

1

1

 

 

yig’indini  tuzamiz  bu  yig’indiga 

)

(x

f

y



 

funksiya  uchun 

 

b

a,

    kesmadagi  integral  yig’indi  deyiladi. 











i

n

i

x

1

max

      belgilash 

kiritamiz. 

Ta’rif. 

 







n

i

i

i

x

c

f

1

integral 

yig’indining 

 

b

a,

 

 

kesmaning 





)

,...,

3

,

2

,

1

(

,

1

n

i

x

x

i

i





  qismiy  kesmalarga  bo’linish  usuliga  va  ularda 

n

c

c

c

,

....

,

,

2

1

 

 

nuqtalarning  tanlanishiga  bog’liq  bo’lmagan   

0





  dagi  chekli  limiti  mavjud  bo’lsa,  bu 

limitga 

)

(x

f

 funksiyaning 

 

b

a,

  kesmadagi aniq integrali deyiladi va 



b

a

dx

x

f

)

(

 

  simvol bilan belgilanadi. 

   Ta’rifga asosan 





b

a

x

f

)

(

 









n

i

i

i

x

c

f

1

0

lim



 

bo’lib, 

)

(x

f

y



 funksiya  

 

b

a,

  kesmada uzluksiz bo’lsa, u integrallanuvchi ya’ni bunday 

funksiyaning aniq integrali mavjuddir. 

                3. Aniq integralning asosiy xossalari 

 

Aniq integral quyidagi asosiy xossalarga ega: 

1)  chekli  sondagi  integrallanuvchi  funksiyalar  algebraik  yig’indisining  aniq  integrali 

qo’shiluvchilar aniq integrallarining algebraik yig’indisiga teng, ya’ni 





;

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

3

2

1

3

2

1



















b

a

b

a

b

a

b

a

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

x

f

x

f

 

2) o’zgarmas ko’paytuvchini aniq integral belgisidan chiqarish mumkin, ya’ni  

            







b

a

b

a

dx

x

f

k

dx

x

kf

)

(

)

(

; 

3) 

 

b

a,

 kesmada 

0

)

(



x

f

 bo’lsa, 

                  





b

a

dx

x

f

.

0

)

(

 

bo’ladi; 

4) 

 

b

a,

 kesmada

)

(

)

(

x

g

x

f



  tengsizlik bajarilsa,  

                   







b

a

b

a

dx

x

g

dx

x

f

)

(

)

(

 

bo’ladi; 

5)  

 

b

a

c

,

 kesmadagi biror nuqta bo’lsa, 

               











b

c

c

a

b

a

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

)

(

)

(

)

(

 

tenglik o’rinli bo’ladi; 

6) 

m

  va 

M

  sonlar 

)

(x

f

y



  funksiyaning   

 

b

a,

  kesmadagi  mos  ravishda  eng 

kichik va eng katta qiymatlari bo’lsa, 

         











b

a

a

b

M

dx

x

f

a

b

m

)

(

)

(

)

(

 

tenglik o’rinli bo’ladi; 

7) 









a

b

b

a

dx

x

f

dx

x

f

;

)

(

)

(

 

8) 

;

0

)

(





a

a

dx

x

f

 

9) 











b

a

b

a

b

a

dn

n

f

dt

t

f

dx

x

f

)

(

)

(

)

(

    

bo’ladi; 

10) 

)

(x

f

y



 

 

b

a,

    kesmada  uzluksiz  bo’lsa,  bu  kesmada  shunday  bir 

c

  nuqta 

topiladiki 

                 

)

)(

(

)

(

a

b

c

f

dx

x

f

b

a









   

tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bunga o’rta qiymat haqidagi teorema deb ham aytiladi. 

  

4.  Aniq integralni hisoblash. Nyuton-Leybnits formulasi.  

Aniq  integralning  ta’rifiga  asosan,  ya’ni  cheksiz  ko’p  sondagi  cheksiz  kichiklar 

yig’indisining limitini hisoblash ancha qiyinchilikka olib keladi. Shuning uchun aniq integralni 

hisoblash uchun, boshqa aniqmas integral bilan aniq integral orasidagi bog’lanishga asoslangan 

usuldan foydalaniladi. 

)

(x

F

,

 

b

a,

  kesmada  uzluksiz 

)

(x

f

  funksiyaning  boshlang’ich  funksiyalaridan  biri 

bo’lsa 

                

)

(

)

(

)

(

)

(

a

F

b

F

x

F

dx

x

f

a

b

b

a









                    

(2) 

formula  o’rinli  bo’lib,  bunga  Nyuton-Leybnits  formulasi  deyiladi.  Bundan  foydalanib  aniq 

integralning kattaligi hisoblanadi. 

Shunday  qo’yilib,  aniq  integralni  hisoblash  uchun  ham,  aniqmas  integraldagidek, 

boshlang’ich funksiyani topish kerak ekan. Bunday masala bilan aniqmas integralni hisoblashda 

to’laroq shug’ullandik. Demak, aniqmas integralni hisoblashdagi hamma formula va usullar o’z 

kuchida qolib, undan aniq integralni hisoblashda ham foydalanamiz. 

Aniq  integralda  o’zgaruvchini  almashtirilganda  o’zgaruvchilar  bo’yicha  uning 

integrallash chegaralarini ham almashtirib olinsa, aniqmas integraldagidek oldingi o’zgaruvchiga 

qaytish kerak emas. 

Misol: 





5

0

4 dx

x

x

   integralni hisoblang: 

Yechish: 

t

x





4

   almashtirish olamiz, 

tdt

dx

t

x

2

,

4

2







 bo’lib,  

0



x

 bo’lganda, 

3

,

4

5

,

2

,

4

0













t

t

t

t

 bo’ladi.  

 Shunday qilib,      

5

3

3

3

3

3

5

3 3

4

2

4

2

2

2

0

2

2

2

2

5

5

3

3

4

( 2

4) 2

(2

8 )

2

8

2

8

5

3

2

8

2

8

506

11

(3

2 )

(3

2 )

211

19

33

.

3

3

5

3

15

15

t

t

x x

dx

t

t tdt

t

t dt

t dt

t dt





























 

 















 

natijaga ega bo’lamiz. 

Bo’laklab integrallash 









b

a

a

b

b

a

udv

uv

udv

 

formulasidan foydalanamiz:                

.

0

sin

sin

)

1

(

)

sin

(cos

cos

cos

cos

sin

sin

0

0

0

0































































x

xdx

x

x

x

v

xdx

dv

dx

du

x

u

xdx

x

 Agar 

 

f x

 funksiya  

 

,

a b

 kesmada uzluksiz, 

 

x

t





 funksiya  esa differensiallanuvchi 

bo’lib, shu bilan birga 

 

a

 



,  

 

b

 



 bo’lsa, u holda ushbu tenglik o’rinli:  

 

 





 

b

a

f x dx

f

t

t dt

















 

Ko’pincha 

 

x

t





 o’rniga qo’yish o’rniga 

 

t

x





 teskari almashtirishdan foydalaniladi. 

Bu holda integrallashning yangi chegaralari 



 va  



 bevosita 

 

a

 



 va  

 

b

 



 

tengliklardan topiladi. Bunda integrallash chegaralarini almashtirishni quyidagi jadval jadval  

shaklida yozish qulay. 

x

 

t

 

a

 



 

b

 



 

 

Aniq integral yordamida yassi figuralar yuzlarini hisoblash  

)

(x

f

y



 funksiya grafigi, 

b

x

a

x





,

 ikkita to’g’ri chiziqlar va 

OX

 o’qi bilan 

chegaralangan figuraga egri chiziqli trapetsiya deyiladi. Bunday egri chiziqli trapetsiyaning 

yuzi 

                









b

a

b

a

dx

x

f

ydx

S

)

(

                                               (1) 

formula bilan hisoblanadi  

Umumiy  hol,  ya’ni 

)

(

)

(

),

(

),

(

1

2

2

2

1

1

x

f

x

f

x

f

y

x

f

y







  chiziqlar  bilan 

chegaralangan yuza 

           

 

 





dx

x

f

x

f

S

x

x







2

1

1

2

1

                                            (2) 

aniq integralga teng bo’ladi . 

 

0

,

,

,









x

d

y

c

y

y

x



   chiziqlar bilan chegaralangan yuza 

           

 

2

d

d

c

c

S

x dy

y dy











                                              (3) 

aniq integral bilan hisoblanadi. 

Egri chiziq parametrik 

 

 











t

y

y

t

x

x

,

 

tenglama bilan berilgan  bo’lsa, u holda shu egri  chiziq 

x

a



, 

x

b



  to’g’ri  chiziqlar  va 

Ox

 

o’q bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzi  

      

   

   

2

2

1

1

t

t

t

t

S

y t x t dt

y t dx t











                                          (4) 

formula  bo’yicha  hisoblanadi,  bunda 

1

t

  va   

2

t

 

 

 

 





1

2

,

0

a

x t

b

x t

y t







 

tenglamalardan aniqlanadi. 

 

r

r





  funksiya  grafigi    va 

 



,   

 



  ikkita  nur  bilan  chegaralangan  figura  egri 

chiziqli sektor deyiladi, bunda 



 va 

r



 qutb koordinatalari. Egri chiziqli sektorning yuzi  

2

1

2

S

r d











 

formula bo’yicha hisoblanadi. 

Egri  chiziq  yoyi  uzunligini  hisoblash.  To’g’ri  burchakli  koordinatlar  sistemasida 

 

 

b

a

x

f

y

,



  kesmada  silliq  (ya’ni 

 

x

f

y



  hosila  uzluksiz)  bo’lsa,  bu  egri  chiziq 

yoyining uzunligi 

                              

 









b

a

dx

y

l

2

1

                                           (5) 

formula yordamida hisoblanadi. 

Egri chiziq parametrik tenglama 

 

 











t

y

y

t

x

x

   

             Parametrik  tenglamalar  bilan  berilgan  bo’lsa,  bu  egri  chiziqning 





1

2

,

t

t t



 

parametrning monoton o’zgarishiga  mos yoyning uzunligi bilan berilgan bo’lsa, yoy uzunligi 

   

2

1

2

2

t

t

l

x

y

dt











 

aniq integral bilan hisoblanadi. 

Agar silliq egri chiziq qutb koordinatalarida 

  

















,

r

r

 tenglama bilan 

berilgan bo’lsa, yoy uzunligi 

 







d

r

r

l









2

2

                                                    (6) 

formula bilan hisoblanadi. 

 

 

 

Aylanma jism hajmini hisoblash 

 

0

,

,

,









y

b

x

a

x

x

f

y

  chiziqlar  bilan  chegaralangan  figuraning  OX  o’qi 

atrofida ay lanishidan hosil bo’lgan jismning hajmi 

                

 









b

a

b

a

x

dx

x

f

dx

y

V

2

2





                                (7) 

aniq integral bilan hisoblanadi. 

 

0

,

,

,









x

d

y

c

y

y

x



 chiziqlar bilan chegaralangan figuraning 

OY

 o’qi 

atrofida aylanishidan hosil bo’lgan jismning hajmi 









d

c

d

c

y

dy

y

dy

x

V

)

(

2

2







                                            (8) 

formula bilan hisoblanadi. 

Agar 

 

S x

Ox

  yuz  jismning   

Ox

  o’qqa  perpendikulyar  tekslik  bilan  kesishishidan  hosil 

bo’lgan kesim bo’lib, 

 

,

a b

 kesmada uzluksiz funksiya bo’lsa, jismning hajmi  

 

b

a

V

S x dx





 

formula bilan hisoblanadi. 

Agar  

 

0

,

,

,









y

b

x

a

x

x

f

y

 chiziqlar bilan chegaralangan figuraning 

Oy

 

o’qi atrofida ay lanishidan hosil bo’lgan jismning hajmi 

2

b

a

V

xy dx







 

formula bilan hisoblanadi. 

Agar 

 

1

1

y

f

x



 va 

 

2

2

y

f

x



 (bu yerda 

 

 

1

2

f

x

f

x



) egri chiziqlar hamda 

,

x

a x

b





 to’g’ri chiziqlar bilan chegaralangan figura 

Ox

 o’qi atirofida aylansa, aylanish 

jismning hajmi  





2

2

2

1

b

a

V

y

y

dx









 

formula bo’yicha hisoblanadi. 

Agar shu figuraning o’zi 

Oy

 o’q atirofida aylansa aylanish jismning hajmi  





2

1

2

b

a

V

x y

y dx









 

formula bilan hisoblanadi. 

Agar 

 

1

1

x

f

y



 va 

 

2

2

x

f

y



 egri chiziqlar va  

,

y

c y

d





 to’g’ri chiziqlar  bilan 

chegaralangan figura  

Oy

 o’qi atirofida aylansa, u holda aylanish jismining hajmi  





2

2

2

1

d

c

V

x

x

dy









 

formula bilan hisoblanadi. 

Agar shu figuraning o’zi 

Ox

 o’qi atirofida aylansa, u holda aylanish jismining mos hajmi  

ushbuga teng bo’ladi: 





2

1

2

d

c

V

y x

x dy









 

formula bilan hisoblanadi. 

Hisoblash amaliyotida ko’pincha boshlang’ich funksiyalari elementar bo’lmagan, ya’ni 

chekli  ko’rinishda  ifodalab  bo’lmaydigan  funksiyalardan  olingan  integrallar  bilan,  shuningdek, 

jadval  yoki  grafik  usulda  berilgan  funksiyalardan  olingan  integrallar  bilan  ish  ko’rishga  to’g’ri 

keladi.  Bunday  hollarda  Nyuton  -  Leybnits  formulasini  qo’llab  bo’lmaydi  va  integral  taqribiy 

usullar yordamida hisoblanadi. 

Hisoblash  mashinalarining  jadal  taraqqiy  etib  borishi  natijasida  aniq  integrallarni 

hisoblashning taqribiy usullari keng tatbiq qilinmoqda. 

Integral  ostidagi  funksiya  elementar  boshlang’ich  funksiyaga  ega  bo’lsada,  biroq,  uni 

Ng’yuton  -  Leybnits  formulasi  bo’yicha  hisoblash  murakkab  va  katta  hajmdagi  hisoblash 

ishlarini talab etadigan hollarda ham taqribiy hisoblash usullari afzal bo’ladi. 

Aniq integralni taqribiy hisoblashning bir necha usullari mavjud bo’lib ulardan ko’proq 

ishlatiladiganlari trapetsiyalar va Simpson usullaridir. 

 

 

Trapetsiyalar formulasi 



b

a

dx

x

f

)

(

 

aniq  integralni  hisoblash  talab  etilsin   

)

(x

f

y



  funksiya 

 

b

a,

  kesmada  uzluksiz 

 

b

a,

 

kesmani 

b

x

x

x

x

a

n













....

2

1

0

  nuqtalar  orqali 

n

  ta  teng  qismiy  kesmalarga 

ajratamiz.  Funksiyaning 

i

x

  nuqtalaridagi   

)

(

i

i

x

f

y



  qiymatlarini  hisoblaymiz 





i

i

x

x

n

i

,

).

,

1

(

1





  qismiy  kesmalarning  uzunligi 

n

a

b

)

(



  kattalik    integrallash  qadami 

deyiladi.  Bo’linish  nuqtalaridan 

n

y

y

y

y

....,

,

,

,

2

1

0

  ordinatlarni  o’tkazamiz.  Ordinatlar  

oxirlarini to’g’ri chiziqlar bilan tutashtirib trapetsiyalar hosil qilamiz. 

Aniq  integralning  taqribiy  qiymati  uchun,  hosil  bo’lgan  trapetsiyalar  yuzlarining 

yig’indisini olamiz. Bu holda 

0

1

1

2

2

3

1

( )

.....

2

2

2

2

b

a

n

n

y

y

b

a

y

y

b

a

y

y

b

a

S

f x dx

n

n

n

y

y

b

a

n











































 

Shunday qilib, natijada 

)

1

(

.....

2

)

(

1

3

2

1

0





























b

a

n

n

y

y

y

y

y

y

n

a

b

dx

x

f

S

 

formulani olamiz. (1) formulaga trapetsiyalar formulasi deb ataladi. Bu formulada egri chiziqli 

trapetsiyalarning  yuzlarini  to’g’ri  chiziqli  trapetsiyalar  yuzlari  bilan  taqriban  almashtirdik. 

n

  

o’sib  borishi  bilan  to’g’ri  chiziqli  trapetsiyalarning  yuzi  egri  chiziqli  trapetsiyalar  yuzlariga 

cheksiz yaqinlashib boradi. 

Bu taqribiy hisoblashda yo’l qo’yilgan absolyut xato .   

                         

2

3

2

12

)

(

n

a

b

M



 

ifodadan  katta  emasligini  ko’rsatish  mumkin,  bunda 

)

(

,

2

x

f

M



  ning 

 

b

a,

  kesmadagi 

eng katta qiymati. 

2.  Simpson  formulasi. 

 

b

a,

  kesmani 

m

n

2



  ta  juft  miqdordagi  teng  qismlarga 

bo’lamiz. Uchta 

)

,

(

),

,

(

),

,

(

2

2

1

1

0

0

y

x

y

x

y

x

 nuqtalar olib ulardan parabola o’tkazamiz. Bu 

parabola bilan 

)

(x

f

y



  funksiyaning 





2

0

, x

x

     kesmadagi  grafigini almashtiramiz. Xuddi 

shunga o’xshash 

)

(x

f

y



 funksiyaning grafigini 



 



6

4

4

2

,

,

,

x

x

x

x

 va boshqa kesmalarda 

ham almashtiramiz. 

Shunday  qilib,  bu  usulda  berilgan 

)

(x

f

y



  egri  chiziq  bilan  chegaralangan 

trapetsiyaning  yuzini 



 

 



,.....

,

,

,

,

,

6

4

4

2

2

0

x

x

x

x

x

x

  kesmalarda  parabolalar  bilan 

chegaralangan egri chiziqli trapetsiyalar yuzlarining yig’indisi bilan almashtiriladi. Bunday egri 

chiziqli trapetsiya parabolik trapetsiya deyiladi. 

Parabolik trapetsiyalar yuzlarini qo’shib, 



































b

a

m

m

m

y

y

y

y

y

y

y

y

m

a

b

dx

x

f

S

)

2

(

)

...

(

2

)

....

(

4

6

)

(

2

2

4

2

1

2

3

1

2

0

 

Bu  formula  Simpson  (parabolalar)  formulasi  deyiladi.  Simpson  formulasining  absolyut  xatosi 

4

5

4

2880

)

(

n

a

b

M



 

   

dan katta bo’lmaydi, bunda 

)

(

,

5

4

x

f

M

 funksiyaning 

 

b

a,

  kesmadagi 

eng katta qiymati. Xatolarni baholash ifodalaridan Ma’lumki 

4

n

 

 kattalik 

2

n

 

 

kattalikka nisbatan 

tezroq  o’sgani  uchun  Simpson  formulasining  xatoligi  trapetsiyalar  formulasi  xatosiga  nisbatan 

ancha tez kamayadi.