1. Chiziqli fazolar

Endi (4) formulalarni qisqacha

(5)
ko’rinishda yozib olamiz. Bu formulani esa umumiy holda ko’rinishda yozish mumkin.
(6)
ni ko’rsatmiz.

Agar

, va deb olsak,
U holda har qanday uchun

Agar desak, oxirgi tengliklardan kelib chiqadi. Demak, . Endi
(7)

tenglikning bajarilishini ko’rsatamiz:

(6) tenglik akslantirishning additivlik xossasi, (7) esa bir jinslilik xossasi deyiladi.
Eslatma. Tekislikni tekislikka yoki fazoni fazoga akslantirishlar chiziqli bo’lmasligi ham mumkin. Masalan, tekislikni tekislikka akslantirish, ya’ni va koordinatali nuqtaning koordinatalarini koordinatalari va bo’lgan nuqta orqali ifodalovchi formulalar quyidagicha beriladi.

Bu yerdagi va funksiyalar ixtiyoriy bo’lmasdan ular barcha juftlar uchun aniqlangan va har qanday juftlik uchun yagona juftlik mos kelishi kerak: .

Teskari almashtirish.
Bizga ma’lum bo’lgan
(1)
akslantirish formulalaridan ko’rinadiki, tekislikni tekislikka akslantirish bir qiymatlidir, chunki, tekislikning har bir nuqtasiga tekislikning yagona nuqtasi mos keladi. Biz bu yerda tekislikni tekislikka akslantiruvchi (1) ga teskari akslantirish formulalarini keltirib chiqaramiz.
Faraz qilaylik
yoki bo’lsin. Bu holda (1) sistema yagona yechimga ega bo’ladi. Kramer formulalariga ko’ra ular

yoki yoyilgan holda
(2)
(2) tenglamalarga ko’ra tekislikning har bir nuqtasiga tekislikning ma’lum bir nuqtasi mos keladi. (2) ko’rinishdagi almashtirish (1) almashtirishga teskari almashtirish deyiladi.
Teskari almashtirishning matritsasini bilan belgilaymiz:

Agar matritsaning determinanti nolga teng bo’lsa, ya’ni bo’lsa, u holda (1) almashtirishni maxsus almashtirish deyiladi. U o’zaro bir qiymatli bo’lmaydi.
Misol.
Ushbu

almashtirishga teskari almashtirishni toping.
Yechish. Almashtirishning determinantini topamiz:

Demak, berilgan almashtirish o’zaro bir qiymatli.
Teskari almashtirish quyidagicha bo’ladi:

bu almashtirishning matritsasi