1. Даражали қаторлар, яқинлашиш соҳаси, Коши-Адамар формуласи. Даражали қаторларнинг функционал хоссалари. Тейлор қатори

6 - §. Функцияларни Тейлор ва Маклорен
қаторларига ёйиш
9.6.1. Aгар у= f(x) функция х=х₀ нуқта атрофида (_{ }) тартиблигача хосилаларга эга бўлса, у холда қуйидаги Тейлор формуласи ўринлидир
_{ }….+

бу ерда _{ }Тейлор формуласининг Лагранж шаклидаги қолдиқ ҳади дейилади.
_{ }…._{ }
кўпхад у=_{ } функциянинг _{ }даражали Тейлор кўпхади дейилади.
х = 0 да Тейлор формуласининг хусусий холи – Маклорен формуласи хосил бўлади:
_{ }….+_{ }
бу ерда _{ }
9.6.2.Агар у=_{ } функция _{ } нуқта атрофида исталган марта дифференциалланувчи бўлса ва бу нуқтанинг бирорта атрофида

бўлса, Тейлор ва Маклорен формулаларидан ушбу
_{ }….
ва
_{ }….+_{ }....
ч ексиз қаторлар ҳосил бўлади. Буларнинг биринчиси Тейлор қатори, иккинчиси Маклорен қатори дейилади. Бу қаторлар х нинг _{ }=0 бўладиган қийматларида f(x) га яқинлашади.^{n ∞}
1 – м и с о л. у = x⁴-3x²+2x+2 функцияни (х-1) иккихад даражалари бўйича ёйинг.
Е ч и ш. х₀=1 учун Тейлор формуласидан фойдаланамиз. Функциянинг хосилаларини ва уларнинг х₀=1нуқтадаги қийматларини топамиз:
у(1)= 2;у΄(1)= (4x³-6x+2) _{ };у΄΄(1)= (12x²-6) _{ };
у΄΄΄(1)= 24x_{ };у^IV(1)= 24;у^V(1)= 0 ва ҳ.к.
Демак,
у = x⁴-3x²+2x+2=2+_{ }
ёки
у = x⁴-3x²+2x+2=2+_{ }.
2 – м и с о л. у= _{ } функция учун х₀=1 нуқтадаги _{ } даражали Тейлор кўпхадни ёзинг.
Е ч и ш. Функциянинг хосилаларини ва уларнинг х₀=1 нуқтадаги қийматларини топамиз:
у(1)= 1;у΄(1)= _{ };у΄΄(1)= _{ }у΄΄΄(1)= =- _{ }
у^IV(1)= _{ }
Демак, Тейлор кўпхади қуйидаги кўринишда бўлади:
_{ }….+

-_{ }
Берилган функция учун қолдиқ хад

кўринишида бўлади.
3 – м и с о л. у = 2^х функцияни Маклорен қаторига ёйинг.
Е ч и ш. Ҳосилаларнинг х=0 нуқтадаги қийматларини топамиз:
у(0)= 1;у΄(0)= 2^xln2_{ };у΄΄(0)= 2^xln²2_{ };
у΄΄΄(0)= 2^xln³2_{ };уⁿ(0)=2^xlnⁿ2_{ }
Маклорен қаторини тузамиз:
y=2^x=1+xln2+_{ }
Топилган қаторнинг яқинлашиш радиусини аниқлаймиз:
R=_{ }
Демак, қатор сонлар ўқининг барча нуқталарида абсолют яқинлашади. _{ } қолдиқ хад:

0
Бироқ исталган х учун _{ }шунинг учун _{ } (исталган х да). Бу топилган қатор йиғиндиси, исталган х ларда хакиқатан хам 2^х га тенглигини билдиради.


6 – дарсхона топшириғи

1. 
   f(х)=x⁵-4х+2x³+2x+1 кўпхадни (х+1) иккихаднинг даражалари бўйича ёйинг.
   
2. 
   f(х)=x⁴-5x³+x²-3х+4 кўпхадни (х-4) иккихаднинг даражалари бўйича ёйинг.
   
3. 
   f(х)=_{ }функцияних₀=1 нуқта атрофида Тейлор қаторига ёйинг.
   
4. 
   f(х)=_{ } функцияни х₀=1 нуқта атрофида Тейлор қаторига ёйинг.
   
5. 
   f(х)=_{ } функцияни Маклорен қаторига ёйинг.
   

6 – мустақил иш

1. 
   f(х)=x¹⁰-3x⁵+1функцияни( х-1) иккихаднинг даражалари бўйича ёйинг.
   
2. 
   f(х)=_{ } функцияни х₀=3 нуқта атрофида Тейлор қаторига ёйинг.
   
3. 
   f(х)=x²е^хфункцияни Маклорен қаторига ёйинг ва яқинлашиш сохасини топинг.