1. Eyler oshkor usulining yaqinlashishi

1. Eyler oshkor usulining yaqinlashishi
Faraz qilaylik, - yuqoridagi (1)-(2) Koshi masalasining tugundagi yechimi, - Eylerning oshkor usuli bilan topilgan shu tugundagi to'r yechimi bo'Isin. Ushbu

miqdor to' yechimning tugundagi xatoligi, ushbu

miqdor to'r yechimning tugundagi absolyut xatoligi deb ataladi.
Shunday savol tug'iladi, to'r qadami nolga intilganda (27) miqdorlar ham nolga intiladimi:

yani to'r cheklanmagan holda maydalashtirilib borilsa bu miqdorlar nolga intiladimi?
Bu savolga javob berish uchun avvalo (1) tenglamaning o'ng tarafidagi funksiyaga shunday qo'shimcha shart qo'yishimiz lozimki, bu tenglamaning bizga kerakli bo'lgan yechimi kesmada mavjud, yagona va silliq bo 'Isin. Aynan shunday deb o'ylaylikki, funksiya o 'garuvchilar juftligi tekisligidan tengsizlik bilan olingan kenglikdagi o'zgaruvchilar juftligida nafaqat uzluksiz, balki bu kenglikda chegaralangan bo'lishi ham lozim:

Bundan tashqari, o'zgaruvchilar juftligida uzluksizlik talabini qo'yish bilan birga biz tenglamaning o'ng tarafidagi funksiya hosilasining ham shu kenglikdagi o'zgaruvchilar juftligida uzluksizligini talab qilib qo'ygan bo'lamiz:

(29)-(31) formulalardagi o'zgarmaslar kenglikning barcha nuqtalari uchun bir xil chekli haqiqiy sonlar.
Faraz qilaylik, - Eylerning oshkor usuli bilan tugunlarda topilgan to' yechimlar, differensial tenglamaning grafigi , ) nuqtadan o'tuvchi yordamchi yechimlari (ya'ni (15)-(16) Koshi masalasining yechimlari) bo 'lsin.
yordamchi yechimning tugundagi qiymati uchun to'r yechimning ushbu

xatolik formulasidan foydalanib, xatolikni quyidagicha:

ya'ni uni ikkita qo'shiluvchilar yig'indisi shaklida yoza olamiz:

bunda


9-rasm.
(33) va (34) formulalardagi qo'shiluvchilarning ma'nosini ochaylik.
Geometrik nuqtai nazardan Eyler oshkor usuli algoritmining qaralayotgan qadami kesmada izlanayotgan yechim grafigining bo'lagini yordamchi yechim grafigiga o'tkazilgan urinma bo'lagi bilan almashtirishdan iborat. Bu jarayon quyidagi ikki bosqichda amalga oshiriladi:

1. 
   izlanayotgan yechim grafigi yordamchi yechim grafigi bilan almashtiriladi, natijada izlanayotgan yechim o'zining yordamchi yaqinlashishiga (33) xatolik bilan almashtiriladi;
   
2. 
   yordamchi yechim grafigi unga o'tkazilgan urinma - sodda to' ' chiziq bilan almashtiriladi, natijada yaqinlashish qo 'shimcha (34) xatolik bilan yaqinlashishga almashtiriladi.
   

Yordamchi yechimni uning grafigiga o'tkazilgan urinmasi orasidagi xatolikni ifodalovchi (34) qo'shiluvchi algoritmning (i+1)-chi qadamidagi qo'shimcha xatolikni ifodalaydi. Shuning uchun u -chi qadamidagi yo 'l qo 'yilgan lokal xatolik, boshqacha aytganda, (i+1)-chi qadamning lokal xatoligi deb ataladi.
(33) qo'shiluvchining kelib chiqish ma’nosi esa boshqacharoq, ya'ni u oldingi tugundagi - to'r yechim - aniq yechimdan farq qilishidan kelib chiqadi (agar bu qiymatlar mos tushganda edi, u holda - yordamchi yechim yechimning yagonaligi haqidagi teoremaga ko'ra izlanayotgan yechim bilan mos tushgan bo'lar edi va (33) qo'shiluvchining qiymati nolga aylanardi). Shunga ko'ra va miqdorlar orasidagi farq algoritmning oldingi qadamida yo'l qo'yilgan lokal xatolikdan kelib chiqadi, shuning uchun (33) xatolik (i+1)-chi qadamning jamlangan xatoligi deb ataladi.
8-izoh. Algoritmning birinchi qadamida, ya'ni oldindan berilgan qiymat asosida to'r yechimni topishda urinma aslida izlanayotgan