1. Ferma teoremasi intervalda aniqlangan

3. Lagranj teoremasi. Agar funksiya segmentda uzluksiz va uning ichki nuqtalarida differensiallanuvchi bo`lsa, u holda bu segment ichida juda bo`lmaganda bitta nuqta topiladiki, bunda quyidagi tenglik o`rinli bo`ladi:

9 – rasm
(61)
Isboti. 9 – rasmda funksiyaning grafigi ko`rsatilgan. Ikkita va nuqta orqali o`tuvchi to`g`ri chiziq tenglamasidan foydalanib, vatar tengamasini yozamiz:

Bundan vatarning ordinatasini aniqlanadi:

Endi funksiya grafigi va vatar ordinatalari ayirmasiga teng bo`lgan ning bitta o`sha qiymatiga mos keladigan funksiyani qaraylik:

Bu funksiya Roll` teoremasining barcha shartlarini qanoatlantirishini oson tekshirish mumkin. Haqiqatan, bu funksiya segmentda uzluksiz, chunki va lar bu segmentda uzluksiz.
(62)
hosila intervalda mavjud, chunki unda mavjud. Segmentning oхirlarida Roll` teoremasiga ko`ra segmentning ichida nuqtani topish mumkinki, unda bo`ladi. (62) tenglik asosida quyidagini topamiz:

Bundan

ni topamiz, shuni isbot qilish talab qilingan edi.
Lagranj teoremasini geometrik ma`nosini quyidagicha tushuntirish mumkin. Teorema shartini qanoatlantiradigan funksiyaning grafigini qaraylik.
nisbat yoyning oхirlarini tutashtiruvchi vatarning burchak koeffisientini tasvirlaydi. urinmaning burchak koeffisienti bo`lgani uchun Lagranj teoremasi funksiya grafigida hech bo`lmaganda bitta nuqta topilishini, bu nuqtada urinma yoy oхirlarini tutashtiruvchi vatarga parallel bo`lishini tasdiqlaydi. (61) formula ko`pincha quyidagicha yoziladi:
(63)
Bu tenglik quyidagicha o`qiladi: segmentda differensiallanuvchi bo`lgan funksiyaning orttirmasi (ya`ni argumentning orttirmasi) segment uzunligining bu segment ichidagi biror nuqtasidagi funksiya hosilasining ko`paytmasiga teng ekan.
(63) formula Lagranj formulasi yoki cheksiz orttirmalar formulasi deyiladi.

Teorema. Agar funksiya segmentda uzluksiz bo`lsa va uning barcha ichki nuqtalarida hosilaga ega bo`lsa, funksiya segmentda o`zgarmas bo`ladi.
Isboti. – argumentning nuqtasi bilan ustma – ust tushmaydigan iхtiyoriy nuqtasi bo`lsin. (63) Lagranj formulasini segmentga moslab yozamiz: – bu erda va orasidagi biror son. intervalga tegishli bo`lgan uchun . Demak, ya`ni segmentning iхtiyoriy nuqtasi uchun bu funksiya segmentda o`zgarmas ekanini bildiradi.
Natija. Agar va funksiyalarning hosilalari segmentning barcha nuqtalarida teng bo`lsa, bu funksiyalarning ayirmasi bu segmentda o`zgarmas bo`ladi.
Isboti. bo`lsin. U holda chunki shartga ko`ra hozirgina isbot qilingan teoremaga ko`ra funksiya segmentda o`zgarmas ekan.