1. Funksiyalarni interpolyatsiyalash

Funkciyani interpolyatsiyalash masalasining qo'yilishi. Masalaniń geometrik mohiyati. Porabolik interpolyatsiyalash va uning yagonaligi

Reja:

1. Funksiyalarni interpolyatsiyalash

2. Chiziqli interpolyatsiya

3. Kvadratik interpolyatsiya

4. Lagranj interpolyatsion koʻphadi

Tayanch soʻzlar: Lagranj koʻphadi, interpolyatsiya, approksimatsiya, maqsad funksiyasi, chiziqli interpolyatsiya, kvadratik interpolyatsiya

1. Funksiyalarni interpolyatsiyalash

f(х) funksiya [а, b] oraliqda aniqlangan boʻlsin, ushbu oraliqda f(х) va (х) funksiyalarning yaqinligi ta’minlangan boʻlsin. Berilgan kesmada
a  x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n  b (1.1)
shart boʻyicha nuqtalar toʻplami tanlanadiki, ularni tugunlar deb ataladi. Tugunlarning soni (6.1) tenglikdagi parametrlar soniga teng. Bu tugunlarda f(х) funksiyaning qiymatlari ma’lum, ya’ni y_i = f(x_i),
Interpolyatsiya masalasi (6.1) ga mos koʻphadlarni tanlashga olib kelinadi:
, (1.2)
Bunda с_k koeffitsiyentlar haqiqiy sonlardan iborat boʻlib, quyidagi qoida asosida topiladi:
, (1.3)
Bunday koʻphadga interpolyatsion koʻphad deyiladi.
(1.3) shart qoʻllanadigan (1.2) amaliyotga global interpolyatsiya deyiladi. Agar (1.2) koʻphad f(х) funksiyaning aniqlanish sohasi boʻlgan [а, b] kesmaning faqat alohida qismlari uchun, ya’ni m < n boʻlgan m ta interpolyatsion tugun uchun qurilsa, u holda interpolyatsiyani lokal interpolyatsiya deyiladi.
Tanlangan nuqtalar toʻplamidagi tugunlar turlicha boʻlganligi uchun (1.3) sistemaning determinanti quyidagi koʻrinishda boʻladi:
|G|  0,
(6.3) sistema yagona yechimga ega, ya’ni (1.2) koʻphadning koeffitsiyentlari bir qiymatli aniqlanadi.
Koʻrish mumkinki, (1.3) shart f(х) va F(х) funksiyalarning yaqinligini ta’minlaydi, ya’ni interpolyatsiya tugunlarida f(х) va F(х) funksiyalarning qiymatlari ustma-ust tushadi.
Agar (1.2) va (1.3) shartlar funksiya qiymatlarini x<x₀ va x>x_n boʻlgan hol uchun hisoblashda qoʻllansa, bunday yaqinlashishga ekstropolyatsiya deyiladi.