1. Haqiqiy domendagi Furye seriyasi 4

1.3. Trigonometrik funksiyalar tizimining ortogonalligi

Ta'rif.Berilgan funksiya, agar birinchi turdagi uzilish nuqtalarining cheklangan soniga ega bo'lsa, u qismli uzluksiz deyiladi.
Ta'rif.Ikki funktsiyaning skalyar ko'paytmasi va aniqlangan va bo'lak-bo'lak uzluksiz bo'lgan son ( , va bu funktsiyalar mahsulotining oraliqdagi aniq integraliga teng, ya'ni.

Ta'rif.Funktsiyalar va segmentda ortogonal deyiladi, agar ularning skalyar mahsuloti nolga teng bo'lsa, ya'ni. Agar

Ta'rif.Funksiyaning intervaldagi normasi sondir

Ta'rif.Funktsiya intervalda normallashtirilgan deb ataladi,

-da aniqlangan va bo'lak-bo'lak uzluksiz funktsiyalar ketma-ketligi bo'lsin va ular orasida nolga teng bo'lgan funksiyalar yo'q.
Ta'rif.Funktsiyalar ketma-ketligi ortogonal deyiladi, agar bu tizimning har qanday ikkita alohida funksiyasi ortogonal bo'lsa, ya'ni.

Ta'rif.Funktsiyalar ketma-ketligi normallashtirilgan deb ataladi, agar bu ketma-ketlikning har bir funktsiyasi normallashtirilsa, ya'ni.

Ta'rif.Funktsiyalar ketma-ketligi ortogonal va normallashtirilgan bo'lsa, ortonormal deb ataladi, ya'ni.

Misol. Trigonometrik funktsiyalar tizimini ko'rib chiqing

1,

(10)

umumiy davr Bu funksiyalar sistemasi bo'yicha ortogonal ekanligini ko'rsatamiz. Bizda ... bor:





Shunday qilib, trigonometrik funktsiyalar tizimi (10) haqiqatda oraliqda ortogonaldir.
Ortonormal tizim (1.10) mavjud bo'lmaydi, chunki


Oxirgi tengliklarni hisobga olsak, funksiyalar tizimi ortonormal bo'ladi

E'tibor bering, tizim (10) funktsiyalari (shuningdek, tizim (11)) chiziqli mustaqildir.
Xuddi shunday, funksiyalar tizimi ekanligini ko'rsatish mumkin

(12)

ortogonal va funksiyalar tizimi

(13)

ortonormaldir.
Ortogonal (ortonormal) funktsiyalar tizimini chekli o'lchovli Evklid fazosida ortogonal (ortonormal) asosning analogi deb hisoblash mumkin. Keyinchalik ko'rib chiqamizki, ortogonal (ortonormal) tizim funktsiyalarining chiziqli birikmalari bo'lgan funktsiyalar sinfi mavjud va chiziqli birikmada cheksiz sonli atamalar bo'lishi mumkin. Cheksiz sonli atamalar bilan chiziqli birikma qatordir. Seriyaning funksiya sifatida ishlatilishi ushbu qatorning yaqinlashuvi masalalari bilan bog'liq.
Funksiyaning trigonometrik tizimi (10) nuqtai nazaridan funksiyaning kengayishini ko'rib chiqaylik.