1. Haqiqiy domendagi Furye seriyasi 4

1.6. Davriy bo'lmagan funktsiyaning Furye kengayishi

1.6.1. Funksiyalarni Furye seriyali kengaytirish

Funksiya oraliqda berilsin va bu oraliqda Dirixle teoremasining shartlari qanoatlansin. Keling, o'zgaruvchini o'zgartiraylik. Keling, qaerdan tanlaymizki, natijada argument funksiyasi aniqlanadi. Shuning uchun biz buni hisobga olamiz


Olingan funktsiyani Furye qatoriga kengaytirish mumkin:

Qayerda


Keling, teskari almashtirishni qilaylik ⇒Oling

Qayerda

(19)

Seriya (18) - Funksiyalarning asosiy trigonometrik tizimidagi Furye qatori

Shunday qilib, agar funktsiya segmentda berilgan bo'lsa va bu segmentdagi Dirixle teoremasining shartlarini qanoatlantirsa, u holda uni trigonometrik funktsiyalar tizimi (20) nuqtai nazaridan trigonometrik Furye qatoriga (18) kengaytirish mumkinligiga erishdik. [8].
Berilgan teng funksiya uchun trigonometrik Furye qatori shaklga ega bo'ladi

Qayerda

g'alati funktsiya uchun

Qayerda

Izoh!Ayrim masalalarda funksiyani segmentda emas, balki segmentda funksiyalar tizimi (20) nuqtai nazaridan trigonometrik Furye qatoriga kengaytirish talab qilinadi. Bunday holda, siz (19) ((15) formulalaridagi integratsiya chegaralarini o'zgartirishingiz kerak, agar , ya'ni bu holda

(23)

yoki agar

(24)

Trigonometrik Furye qatorining yig'indisi davriy funksiya bo'lib, berilgan funktsiyaning davriy davomi hisoblanadi. Davriy funksiya uchun esa (4) tenglik amal qiladi.

1.6.2.Funksiyalarni Furye seriyali kengaytirish

Funktsiya berilgan bo'lsin va bu oraliqda Dirixle teoremasining shartlarini qanoatlantirsin. Bunday funktsiyani Furye qatorida ham kengaytirish mumkin. Buning uchun funktsiyani intervalgacha kengaytirish va natijada olingan funktsiyani intervalda Furye qatoriga kengaytirish kerak. Bunday holda, hosil bo'lgan qator faqat funktsiya berilgan segmentda ko'rib chiqilishi kerak. Hisob-kitoblarning qulayligi uchun biz funktsiyaning ta'rifini juft va toq shaklda kengaytiramiz.
1) Funksiyani oraliqda juft tarzda davom ettiramiz, ya’ni segmentdagi funksiya bilan mos keladigan yangi juft funksiya tuzamiz. Shuning uchun bu funktsiyaning grafigi o'qga nisbatan simmetrik bo'lib, segmentdagi grafik bilan mos keladi. Formulalardan (21) foydalanib, funktsiya uchun Furye qatorining koeffitsientlarini topamiz va Furye qatorining o'zini yozamiz. Furye qatorlarining yig'indisi davriy funktsiya bo'lib, davri . Bu uzluksizlikning barcha nuqtalarida funksiya bilan mos keladi.

2) Funksiyani intervalda toq shaklda kengaytiramiz, ya’ni funksiya bilan mos keladigan yangi toq funksiya tuzamiz. Bunday funktsiyaning grafigi boshlang'ichga nisbatan simmetrik bo'lib, segmentdagi grafik bilan mos keladi. Formulalardan (22) foydalanib, funktsiya uchun Furye qatorining koeffitsientlarini topamiz va Furye qatorining o'zini yozamiz. For Furye seriyasining yig'indisi davriy funktsiyadir. Bu uzluksizlikning barcha nuqtalarida funksiya bilan mos keladi.

Izohlar!
1) Xuddi shunday, oraliqda aniqlangan funksiyani Furye qatorida kengaytirishimiz mumkin
2) Funktsiyaning segmentdagi kengayishi uning segmentga ixtiyoriy ravishda kengayishni nazarda tutganligi sababli, funktsiya uchun Furye qatori yagona bo'lmaydi [3].

1.6.3.Funksiyalarni Furye seriyali kengaytirish

Funksiya ixtiyoriy uzunlik segmentida berilsin va undagi Dirixle teoremasining shartlarini qanoatlantirsin.

Keyin bu funktsiyani Furye qatorida kengaytirish mumkin. Buning uchun funktsiya davriy ravishda (nuqta bilan) butun son qatoriga kengaytirilishi va natijada olingan funktsiyani faqat intervalda ko'rib chiqilishi kerak bo'lgan Furye qatoriga kengaytirilishi kerak. Davriy funksiyalarning xossasi (3) tufayli bizda mavjud

Shuning uchun funktsiyaning olingan davomi uchun Furye koeffitsientlarini formulalar orqali topish mumkin.

(25)