1. Haqiqiy domendagi Furye seriyasi 4

2. Furye qatorining amaliy qo‘llanilishi

2.1. Furye qatoridagi funksiyalarni kengaytirish masalalari va ularni yechish

Trigonometrik Furye qatorida segmentda berilgan funktsiyaning davriy davomi bo'lgan funksiyani kengaytirish talab qilinadi. Buning uchun Furye qatoridagi davriy funktsiyani kengaytirish algoritmidan foydalanish kerak.
Furye qatoridagi davriy funktsiyani kengaytirish algoritmi:
1) Berilgan funksiya va uning davriy davomi grafigini tuzing;
2) Berilgan funksiyaning davrini belgilang;
3) juft, toq yoki umumiy shakldagi funksiyani aniqlang;
4) Dirixle teoremasi shartlarini amalga oshirish imkoniyatini tekshirish;
5) Ushbu funktsiya tomonidan yaratilgan Furye seriyasining rasmiy yozuvini tuzing;
6) Furye koeffitsientlarini hisoblang;
7) Furye qatorining koeffitsientlaridan foydalanib, berilgan funksiya uchun Furye qatorini yozing (4-band).
1-misolFunktsiya oraliqda Furye qatorida kengaytirish.
Yechim:
1) Berilgan funksiya va uning davriy davomi grafigini tuzamiz.

2) Funktsiyani kengaytirish davri .
3) Funktsiya - g'alati.
4) Funktsiya - uzluksiz va monotonik, ya'ni. funktsiya Dirixlet shartlarini qondiradi.
5) Furye qatorining koeffitsientlarini hisoblang.













6) Formuladagi Furye koeffitsientlarini almashtirib, Furye qatorini yozamiz



Javob:


2-misolFurye qatorida ixtiyoriy davrga ega funksiyani kengaytiramiz .

Yechish: funksiya yarim oraliqda (-3; 3] aniqlanadi. Funktsiyani kengaytirish davri , yarim davr. Funksiyani Furye qatorida kengaytiring.


Boshida funktsiya uzluksiz, shuning uchun har bir Furye koeffitsienti ikkita integral yig'indisi sifatida ifodalanadi.

















Furye qatorining topilgan koeffitsientlarini formulaga almashtirib, Furye qatorini yozamiz.



3-misolFunktsiyani kengaytirish orasida kosinuslardagi Furye qatorida. Seriya yig‘indisini chizing.
Yechish: funktsiyani oraliqgacha juft usulda davom ettiramiz, ya’ni segmentdagi funksiya bilan mos keladigan yangi juft funksiya quramiz. Funksiya uchun Furye qatorining koeffitsientlarini toping va Furye qatorini yozing. Furye qatorlarining yig'indisi davriy funktsiya bo'lib, davri . Bu uzluksizlikning barcha nuqtalarida funksiya bilan mos keladi.
Funktsiya uchun trigonometrik Furye seriyasi o'xshash bo'ladi

Furye qatorining koeffitsientlarini toping







Shunday qilib, koeffitsientlar topilganda, Furye qatorini yozish mumkin

Keling, qatorlar yig'indisini chizamiz


4-misol[0;2] segmentida aniqlangan funksiya berilgan. Funksiyani Furye qatoriga kengaytirish mumkinligini aniqlang. Funksiyaning kengayishini Furye qatorida yozing [6].
Yechim:
1) [0;2] da funksiya grafigini tuzing.

2) funksiya [0;2] da uzluksiz va monotonik, ya’ni Dirixle teoremasiga ko‘ra trigonometrik Furye qatoriga kengayadi.
3) (1.19) formulalar yordamida Furye koeffitsientlarini hisoblang.








4) topilgan koeffitsientlar yordamida Furye qatorini yozing.