1. Haqiqiy domendagi Furye seriyasi 4

Ta'rif.Funktsiya segmentdagi qismli monoton deb ataladi, agar bu segmentni cheklangan miqdordagi segmentlarga bo'lish mumkin bo'lsa, ularning har birida funksiya monoton bo'lsa, ya'ni. ortib boradi, kamayadi yoki doimiy.
Agar uzluksiz (yoki bo'lak-uzluksiz) funksiya monotonik yoki parcha-parcha monoton bo'lsa, u holda har qanday ichki nuqtada u chap va o'ng chegaraga ega, ya'ni. mavjud

Teorema (Dirichlet).Funktsiya aniqlangan bo'lsin va ushbu segmentda quyidagi shartlar bajarilsin:

1. 
   uzluksiz yoki birinchi turdagi uzilish nuqtalarining cheklangan soniga ega (ya'ni bo'lak-bo'lak uzluksiz);
   
2. 
   monotonik yoki cheklangan miqdordagi ekstremum nuqtalarga ega (ya'ni, parcha-parcha monotonik).
   

Keyin u segment bo'ylab trigonometrik Furye qatoriga kengayadi. Ya'ni, funktsiyaning trigonometrik Furye qatori butun segmentga yaqinlashadi va uning yig'indisi ushbu segmentda quyidagicha aniqlangan funktsiyadir:

1. 
   funksiya uzluksiz bo'lgan barcha nuqtalarda;
   
2. 
   , agar va birinchi turdagi funksiyaning uzilish nuqtasi bo'lsa. Ya’ni funksiyaning uzilish nuqtalarida funksiya shu nuqtadagi bir tomonlama chegaralarning o‘rtacha arifmetik qiymatiga teng bo‘ladi;
   
3. 
   . Ya’ni segment chegaralarida funksiya nuqtadagi funksiyaning chap chegarasi va nuqtadagi funksiyaning o‘ng chegarasining o‘rta arifmetik qiymatiga teng bo‘ladi [9].
   

Bundan tashqari, funktsiyaning uzilish nuqtalari bo'lmagan har qanday segmentda Furye trigonometrik qatori bir xilga yaqinlashadi.
Dirixle teoremasining 1) va 2) shartlari Dirixlet shartlari deyiladi.
Dirixlet teoremasi funktsiyani intervalda trigonometrik Furye qatoriga kengaytirish uchun etarli shartlarni beradi. Funksiyani trigonometrik Furye qatoriga kengaytirish uchun boshqa yetarli shartlar mavjud. Lekin amaliy masalalarni yechish uchun odatda Dirixlet teoremasi yetarli, chunki Dirixlet shartlari katta funksiyalar sinfi tomonidan qanoatlantiriladi.
Funktsiya davriy bo'lsin, davriy bo'lsin, oraliqda trigonometrik Furye qatoriga aylanadi. Keyin bu parchalanish hamma uchun amal qiladi. Bu aniq quyidagi bayonotlardan kelib chiqadi:
1) hamma uchun aniqlanadi va shuning uchun trigonometrik Furye qatori hamma uchun aniqlanadi;
2) trigonometrik qatorlar yig'indisi (14) davriy funktsiya;
3) oraliqdagi funksiya uzluksizligining barcha nuqtalarida va demak, funksiya uzluksizligining boshqa nuqtalarida (chunki ikkala funksiya ham davr bilan davriydir ).