1. Haqiqiy domendagi Furye seriyasi 4

1.5. Juft va toq funksiyalar uchun Furye seriyalari

Simmetrik integralni ko'rib chiqing

qayerda uzluksiz yoki bo'lakcha uzluksiz. Birinchi integralga o'zgartirish kiritamiz. Ishonamizki . Keyin




Shuning uchun, agar juft funktsiya, u holda (ya'ni, juft funktsiyaning grafigi o'qga nisbatan simmetrik va

Agar toq funktsiya bo'lsa, u holda (ya'ni, toq funktsiyaning grafigi boshiga nisbatan simmetrikdir) va

Bular. juft funktsiyaning simmetrik integrali integrallashning yarmi oralig'idagi integralning ikki barobariga teng, toq funksiyaning simmetrik integrali esa nolga teng.
Juft va toq funksiyalarning quyidagi ikkita xususiyatiga e’tibor bering:
1) juft funktsiyaning toqga koʻpaytmasi toq funksiyadir;
2) ikkita juft (toq) funksiyaning ko‘paytmasi juft funktsiyadir.
Bu segmentda berilgan va trigonometrik Furye qatoriga kengayuvchi juft funksiya bo‘lsin. Yuqoridagi natijalardan foydalanib, biz ushbu seriyaning koeffitsientlari quyidagicha ko'rinishini olamiz:

Agar segmentda berilgan va bu segmentda trigonometrik Furye qatoriga kengaygan toq funksiya bo'lsa, bu qatorning koeffitsientlari quyidagicha bo'ladi:

Shuning uchun segmentdagi trigonometrik Furye seriyasi shaklga ega bo'ladi

1. 
   teng funksiya uchun:
   

   (16)

2. 
   g'alati funktsiya uchun:
   

Seriya (16) bir necha burchak sinuslarini o'z ichiga olmaydi, ya'ni juft funktsiyaning Furye qatoriga faqat juft funktsiyalar va erkin termin kiradi. Seriya (17) ko'p burchakli kosinuslarni o'z ichiga olmaydi, ya'ni toq funksiyaning Furye qatoriga faqat toq funksiyalar kiradi [8].
Ta'rif.martabalar
toʻliq Furye qatorining qismlari boʻlib, toʻliq boʻlmagan trigonometrik Furye qatorlari deyiladi.
Agar funktsiya to'liq bo'lmagan trigonometrik qatorga (16) (yoki (17)) kengaytirilsa, u kosinuslarda (yoki sinuslarda) trigonometrik Furye qatoriga kengayadi, deyiladi.