1. Hosila yordamida funksiyani ekstremumda tekshirish. Hosila yordamida funksiyani grafigini yasash

Ekstremumning zaruriy sharti
funksiya nuqtada chekli hosilaga ega bo’lib, bu nuqtada funksiya ekstremumga erishsa, u xolda bo’ladi.
Ekstremumning yetarli shartlari
Agar funksiya nuqtada uzluksiz bo’lsa va o’sha nuqta ixtiyoriy atrofining, balki faqat ning o’zidan boshqa nuqtalarida chekli hosilaga ega bo’lsa va agar x ning qiymati dan o’tganda o’z ishorasini «+» dan «» ga o’zgartirsa, u holda
bo’ladi;
o’z ishorasini «» dan «+» ga o’zgartirsa, u holda
bo’ladi;
o’z ishorasini o’zgartirmasa, u holda funksiya ekstremumga ega bo’lmaydi.
Uchinchi hol ( va bo’lganda) oddiy nuqtada hamda burilish nuqtasida va shuningdek sinish nuqtasida ro’y beradi.
Demak, funksiyaning ekstremumini topish uchun:

1. 
   ni topib, uni nolga aylantiruvchi yoki u mavjud bo’lmagan kritik nuqtalarni topish kerak;
   

2) har bir kritik nuqtadan chap va o’ng tomonlarida ning ishorasini, masalan, ushbu
Funksiya ekstremumining yetarli shartlari (tekshirishning ikkinchi usuli).
Agar biror nuqtada:

1. 
   va bo’lsa, u holda bo’ladi;
   
2. 
   va bo’lsa, u holda bo’ladi.
   
3. 
   bo’lsa bo’lsa, u holda masala yechilmasdan qoladi va uni yechish uchun birinchi usulga murojaat qilish kerak.
   

1-misol. funksiyaning monotonlik oraliqlarini va ekstremumlarini toping.

Yechish. Berilgan funksiyaning aniqlanish sohasi – butun Ox o’qi bo’lib, uning hosilasi .
Hosilani nolga tenglashtirsak bo’lib, u kritik nuqta bo’ladi.
Ox o’qini bu nuqta bilan ikkita oraliqqa bo’linadi:
Bu oraliqlarda hosilaning ishorasini tekshirib, natijalarni quyidagi jadvalga yozamiz:
Demak, funksiyaning hosilasi nuqtada o’ngdan chapga o’tishda o’z ishorasini manfiy ( ) dan musbat (+) ga o’zgartirar ekan. Berilgan funksiyaning o’zi nuqtada uzluksiz. Demak, funksiya nuqtada minimumga erishadi. Uning minimum qiymati bo’ladi.