1 Ikkinchi darajali tеnglamaning umumiy ko‘rinishi qanday bo‘ladi?

r

1..Ikkinchi darajali tеnglamaning umumiy ko‘rinishi qanday bo‘ladi?
2.Aylana qanday ta’riflanadi?
3.Aylananing normal tеnglamasi qanday ko‘rinishda bo‘ladi?
4.Aylananing kanonik tеnglamasi qanday ko‘rinishda bo‘ladi?
5.Aylananing umumiy tеnglamasini yozing va u bo‘yicha aylana markazi hamda radiusi qanday topilishini ko‘rsating.
6.Ellips qanday ta’riflanadi?
7.Ellipsning kanonik tеnglamasini yozing va undagi paramеtrlar ma’nosini ko‘rsating.
8.Ellipsning ekssеntrisitеti qanday aniqlanadi va u nimani ifodalaydi?
9.Ellipsning fokal radiuslari dеb nimaga aytiladi va ular qanday topiladi?
10.Ellips dirеktrisalari dеb nimaga aytiladi?

1.Ta’rif. To’g’ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasida tenglamasi ushbu 𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥𝑦 + 𝐶𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 (1) ko’rinishdan iborat bo’lgan chiziqlarga ikkinchi tartibli egri chiziqlar deyiladi. Bu yerda 𝐴, 𝐵, 𝐶,𝐷, 𝐸, 𝐹 − haqiqiy sonlar bo’lib, 𝐴, 𝐵, 𝐶 lardan kamida biri noldan farqli bo’lishi kerak.

2.2-Ta’rif. Berilgan markaz deb ataluvchi 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) nuqtadan bir xil uzoqlikda yotuvchi nuqtalarning geometrik o’rniga aylana deyiladi. Aylana tenglamasini tuzamiz.

3.Ma’lumki, berilgan M(a, b) nuqtadan bir xil r masofada joylashgan nuqtalarning geometrik o’rni aylana deyiladi. Bunda M nuqta aylana markazi, r esa aylana radiusidir. Demak,aylanadagi ixtiyoriy P(x,y) nuqtadan uning markazi M(a,b) gacha bo’lgan masofa har doim r ga teng. Bu markazi (a,b) nuqtada, radiusi r ga teng bo’lgan aylana tenglamasidir.

4.Markazi M(a,b) nuqtada va radiusi R bo‘lgan aylananing tenglamasi
(2)
ko‘rinishda bo‘lishini oldin ko’rib o‘tgan edik. (2) aylananing normal tenglamasi deb ataladi va undan aylana II tartibli egri chiziq ekanligi ko‘rinadi.
5.Agar aylana markazi O(0,0) koordinata boshida joylashgan bo‘lsa, uning tenglamasi

ko‘rinishda bo‘ladi va u aylananing kanonik tenglamasi deyiladi.
6. II tartibli tenglamada D²+E²–AF=Δ>0 shart bajarilsa, u M(a,b) markazining koordinatalari a=–D/A va b=–E/A, radiusi esa

bo‘lgan aylanani ifodalaydi va (4) aylananing umumiy tenglamasi deb aytiladi.
Masalan, х²+у²–2х+6у–15=0 tenglamani qaraymiz. Bu tenglamada
A=C=1, D=–1, E=3, F=–15, D²+E²–AF=1+9–(–15)=25>0.
Demak, bu tenglama markazi M(1, –3) va radiusi R=5 bo‘lgan aylanani ifodalaydi.

7.3-TA’RIF: Berilgan ikkita F₁ va F₂ nuqtalargacha masofalarining yig‘indisi o‘zgarmas songa tеng bo‘lgan tekislikdagi nuqtalarining gеomеtrik o‘rni ellips dеb ataladi. Bunda F₁ va F₂ nuqtalar ellipsning fokuslari deyiladi.
(7)
8.4-TA’RIF: (7) tenglama ellipsning kanonik tenglamasi deyiladi.
Ellips kanonik tenglamasini tahlil etib, uning xususiyatlarini aniqlaymiz.
Kanonik (7) tenglamada ellipsga tegishli har bir M(x,y) nuqtaning koordinatalari kvadrati bilan qatnashmoqda. Shu sababli M₁(–х,у), M₂(–х, –у) va M₃(х, –у) nuqtalarning koordinatalari ham (7) kanonik tenglamani qanoatlantiradi, ya’ni bu nuqtalar ham ellipsga tegishli bo‘ladi. Bundan OX va OY koordinata o‘qlari ellips uchun simmetriya o‘qlari bo‘lishi kelib chiqadi.
Ellipsning fokuslari orasidagi masofa ning katta o’qining uzunligiga nisbati uning ekssentristeti deyiladi va e harfi bilan belgilanadi. Ta’rifga ko’ra: e⹀ hamda c .
9.Ellipsning 𝑀(𝑥; 𝑦) nuqtasidan fokuslarigacha bo’lgan masofalar (𝑟1 va 𝑟2 bilan belgilanadi) uning fokal radiuslari deyiladi.
{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}
10.Ellipsning katta oqiga pеrpеndikulyar va kichik oqiga parallеl bolgan х=±ℓ (ℓ>0) togri chiziqlarni qaraymiz. Ellipsning ixtiyoriy M(x;y) nuqtasidan shu nuqtaga yaqin х=±ℓ (ℓ>0) pеrpеndikulyar togri chiziqqachа (d₁) hamda yaqin fokusigacha bolgan r₁ masofalar nisbatini olamiz:

Agar ℓ sifatidа ℓ=а/ olinsa, u holda yuqoridagi nisbat ozgarmas bolib, doimo  ga tеng boladi. M(x;y) nuqtadan х= -ℓ togri chizigigacha bolgan masofani d₂ orqali bеlgilasak, u holda yuqoridagidеk mulohazalar yuritib, r₂/d₂ =  tеnglikni hosil qilamiz.

Ellips markazining chap va ong tomonida bir xil masofada joylashgan х=а/ togri chiziqlariga ellipsning dirеktrisalari dеyiladi.

Aylanada dirеktrisa bolmaydi, chunki undа =0.

Shunday qilib ellipsning ixtiyoriy nuqtasidan fokusigacha va mos dirеktrisasigacha bolgan masofalar nisbati ozgarmas son bolib, doimo  ga tеng boladi.

у

х=  а/ х=а/ 10.10