1. Ko'p o'zgaruvchili funksiyalarning xususiy hosilalari Murakkab funksiyaning differensiallanuvchanligi. Murakkab funksiyaning xosilasi

5⁰. Xususiy hollar. Aralash hosilaning tengligi haqida teorema. bо‘lsin. bu holda funksiyaning yuqori tartibli hosila va differensial-lariga kelamiz. Ular 23-ma’ruzada batafsil bayon etilgan.
bо‘lganda ikki о‘zgaruvchili funksiya bо‘lib. Uning ikkinchi tartibli xususiy hosilalari (ular 4 ta bо‘ladi) quyidagicha bо‘ladi:



.
1-misol. Ushbu

funksiyaning ikiinchi tartibli xususiy hosilalari topilsin.
◄Ravshaki,

bо‘ladi.
Endi ta’rifdan foydalanib berilgan funksiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilalarini topamiz:



►
2-misol. Ushbu

funksiyaning nuqtadagi aralash hosilalari topilsin.
Aytaylik, bо‘lsin. Bu holda



bо‘ladi.
Aytaylik, bо‘lsin. Bu holda funksiyaning hosilalarini ta’rifgga kо‘ra hisoblaymiz:



►
Yuqorida keltirilgan misollardan kо‘rinadiki, funksiyaning

aralash hosilalari bir-biriga teng ham bо‘lishi mumkin, teng bо‘lmasdan qolishi ham mumkin ekan.
2-teorema. Faraz qilaylik, funksiya nuqtaning atrofida

aralash hosilalarga ega bо‘lib, bu hosilalar nuqtada uzluksiz bо‘lsin. U holda funksiyaning aralash hosilalari nuqtada teng bо‘ladi:

◄Aytaylik, nuqta-lar nuqtaning atrofiga tegishli bо‘lsin:

.
Ushbu
,

funksiyalarni qaraylik
Ravshanki,

bо‘ladi. Bu tenglikning о‘ng tomoniga Lagranj teoremasini ikki marta qо‘llab topamiz:



Shartga kо‘ra aralash hosila nuqtada uzluksiz. Demak, da

bо‘lib,
(7)
bо‘ladi.
Endi funksiya bilan birga quyidagi

funksiyani qaraymiz. Ravshanki,

bо‘ladi. Yuqoridagidek, bu tenglikning о‘ng tomoniga Lagranj teoremasiini ikki marta qо‘llab, sо‘ng aralash hosilaning nuqtada uzluksizligidan foydalanib topamiz:


. Demak,
. (8)
(7) va (8) munosabatlardan

bо‘lishi kelib chiqadi. ►