1– Ma’ruza: Aniq integral ta’rifi. Darbu yig’indilari. Reja

Aniq integralning ta’rifi.

f(x) funksiya [a,b] segmentda berilgan bo’lsin. [a,b] segmentni ushbu

a=x₀12<…n=b (3)
munosabatda bo’lgan ixtiyoriy chekli sondagi nuqtalar yordamida bo’laklarga bo’lamiz. Bu bo’linishni [a,b] segmentning bo’linishi deb ataymiz va uni kabi belgilaymiz. Bunda x_k(k=0,1,…,n) nuqtalar R bo’linishning bo’luvchi nuqtalari, [x_k,x_k+1] segmentni esa R bo’linishning oralig’i λ_p=max{∆x_k} ga uning diametri deyiladi. Â={P} deb belgilaymiz.
"PÎÂ ni va bu bo’linishning har bir [x_k,x_k+1] (k=0,1,2,…,n-1) oralig’idan ixtiyoriy ξ_k nuqtani olib, f(x) funksiyaning ξ_k nuqtadagi qiymatini hisoblab uni ∆x_k=x_k+1-x_k ga ko’paytirib,
(4)
yig’indini tuzamiz. (4) yig’indini f(x) funksiyaning Riman integral yig’indisi deyiladi. Bu yig’indi f(x) funksiyaga [a,b] ning R bo’linishga va ξ_k nuqtaga bog’liq, shuning uchun uni deb belgilanadi. [a,b] segmentning shunday
p₁,p₂,p₃,…,p_n,… (P_nÎÂ, n=1,2,…) (5)
bo’linishlar ketma-ketligini qaraylikki, ularning mos diametrlaridan tuzilgan ketma-ketlik nolga intilsin. [a,b] segmentning (5) bo’linishlari mos kelgan f(x) ning integral yig’indilari
(6)
ketma-ketligini tuzamiz.
1-ta’rif. Agar [a,b] segmentning har qanday (5) ko’rinishda bo’linishlar ketma-ketligi {P_n} olinganda ham unga mos kelgan integral yig’indilar ketma-ketligi {σ_n} ξ_n nuqtalarni tanlab olishga bog’liq bo’lmagan holda har doim bitta I songa intilsa, bu I son σ integral yig’indining limiti deyiladi va

kabi belgilanadi.
2-ta’rif. Agar λp→0 da f(x) funksiyaning (4) integral yig’indisi chekli limitga ega bo’lsa, f(x) funksiya [a,b] segmentda integrallanuvchi (Riman ma’nosida) deyiladi, σ-integral yig’indining chekli limiti I ga esa f(x) funksiyaning [a,b] dagi aniq integral deb ataladi va u kabi belgilanadi. Demak,
(7)
Bunda a son integralning quyi chegarasi, b son esa yuqori chegarasi deb ataladi.
Demak, yuqoridagi egri chiziqli ABCD trapesiyaning yuzi f(x) funksiyaning [a,b] dagi aniq integralidan iborat ekan, ya’ni S= . 2-ta’rifni boshqacha, ya’ni ε-δ tilida ham berish mumkin.
3-ta’rif. Agarda "ε>0 uchun shunday δ>0 mavjud bo’lib, λp<δ(ε) da ([a,b] segmentni uzunliklari ∆x_i<δ, i=0,1,2,… bo’laklarga bo’lganda) |σ-I|<ε (8) tengsizlik bajarilsa λp→0 da σ integral yig’indi chekli J limitga ega bo’ladi.
Misol. 1) f(x)=C=const funksiyaning [a,b] segmentdagi aniq integralni hisoblaymiz. [a,b] segmentning ixtiyoriy (a=x₀12<…n=b) bo’linishini olib, bu bo’linishga mos kelgan f(x)=c funksiyaning integral yig’indisini tuzamiz.

Bundan

Shunday qilib,

2) Dirixle funksiyasi

ning integral yig’indisini tuzamiz.

λp→0 da σ-integral yig’indisi limitga ega bo’lmaydi, chunki [a,b] segmentni ixtiyoriy ravishda bo’laklarda bo’lganimizda ham har bir [x_k,x_k+1] segmentda ξ_k nuqtani rasional qilib olganimizda, integral yig’indi σ b-a ga, ξ_k nuqtani irrasional qilib olsak, integral yig’indi nolga intiladi. Demak, Dirixle funksiyasi [a,b] segmentda integrallanmaydi.
1-eslatma. Agar f(x) funksiya chegaralanmagan bo’lsa, u shu segmentda integrallanmaydi.
Haqiqatdan ham, agar f(x) funksiya [a,b] segmentda chegaralanmagan bo’lsa, u holda "PÎÂ bo’linish olinganda ham bu bo’linishning birorta, masalan, [x_k,x_k+1] segmentda chegaralanmagan bo’lsa, ya’ni "M>0 son olinganda ham nuqta mavjudki, tengsizlik o’rinli bo’ladi. Demak, bu holda f(x) funksiyaning integral yig’indisi istalgancha katta bo’ladi va u chekli limitga intilmaydi. Shuning uchun [a,b] segmentda integrallanmaydi. Shunday qilib, quyidagi tasdiq o’rinli bo’ladi:
1-teorema. Agar f(x) funksiya [a,b] segmentda integrallanuvchi bo’lsa, u shu segmentda chegaralangan bo’ladi.
Funksiyaning integrallanuvchi bo’lishi uchun chegaralangan bo’lishi zaruriy shart bo’ladi.
Misol.

Bu funksiya [a,b] seggmentda chegaralangan, lekin biz yuqorida ko’rdikki, u [a,b] da integrallanuvchi emas.