1– Ma’ruza: Aniq integral ta’rifi. Darbu yig’indilari. Reja

3. Darbu yig’indilari va ularning xossalari.
f(x) funksiya [a,b] segmentda aniqlangan bo’lib, u shu segmentda chegaralangan bo’lsin, ya’ni shunday o’zgarmas m va M sonlari mavjud bo’lib, "xÎ[a,b] uchun
m ≤ f(x) ≤ M
tengsizlik o’rinli bo’lsin.
[a,b] ning ixtiyoriy bo’lishini olaylik, bunda ∆x_i=x_i+1-x_i, i=0,1,…,n. f(x) [a,b] oraliqda chegaralangan bo’lgani uchun u har bir [x_i, x_i+1] (i=0,1,…,n) oraliqda ham chegaralangan bo’ladi va u o’zining aniq quyi va aniq yuqori chegarasiga ega bo’ladi:

Ushbu
(9)
yig’indilarni tuzamiz. Bu yig’indilar f(x) funksiyaga va [a,b] oraliqning R bo’lishiga bog’liq.
Bu yig’indilarni mos ravishda Darbuning quyi va yuqori yig’indisi deb ataladi.
Ravshanki, s_p(f) ≤ S_p(f) tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Ma’lumki "ξ_iÎ[x_i,x_i+1] uchun m_i≤f(ξ_i)≤M_i tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bu tensizlikni ∆x_i>0 ga ko’paytirib
m_i∆x_i ≤ f(ξ_i)∆x_i ≤ M_i∆x_i
ni hosil qilamiz. Bundan
(10)
tengsizliklarni hosil qilamiz.
Demak, f(x) funksiyaning [a,b] oraliqdagi integral yig’indisi har doim Darbu yig’indilari orasida bo’lar ekan.
[a,b] oraliqning bo’linishida Darbu yig’indilari o’zgarmas bo’ladi. Shu bilan birga ξ_i sonning ixtiyorligidan σ-integral yig’indi o’zgaruvchi bo’lib qoladi, ξ_i nuqtani tanlab olish hisobiga f(ξ_i) ni m_i ga yoki M_i qiymatga istalgancha yaqin qilish mumkin, ya’ni σ integral yig’indini Darbu yig’indilari s va S ga istalgan yaqin qilish mumkin. Shuning uchun Darbu yig’indilari σ yig’indiga mos ravishda aniq quyi hamda aniq yuqori chegaralar bo’ladi:

Ravshanki m≤m_i, M_i≤M (i=0,1,…,n-1) tengsizliklar o’rinli. Bundan esa
Demak, "PÎR uchun m(b-a) ≤ s_p(f) ≤ S_p(f) ≤ M(b-a). tengsizliklar o’rinli bo’ladi. Bundan Darbu yig’indilarining chegaralanganligi kelib chiqadi.