1– Ma’ruza: Aniq integral ta’rifi. Darbu yig’indilari. Reja

Aniq integralning boshqacha ta’rifi.

f(x) funksiya [a,b] oraliqda aniqlangan va u shu oraliqda chegaralangan bo’lsin. [a,b] oraliqning bo’linishlar to’plami Â={P} ning har bir PÎÂ bo’linishga mos kelgan f(x) funksiyaning Darbu yig’indilari s_p(f), S_p(f) larni tuzib, {s_p(f)}, {S_p(f)} to’plamlarni hosil qilamiz. Biz yuqorida ko’rdikki, bu to’plamlar chegaralangan to’plamlardir.

4-ta’rif. {s_p(f)} to’plamning aniq yuqori chegarasi f(x) funksiyaning [a,b] oraliqdagi qo’yi integrali (quyi Riman integrali) deb ataladi va u kabi belgilanadi. {S_p(f)} to’plamning aniq quyi chegarasi f(x) funksiyaning [a,b] oraliqdagi yuqori integrali (yuqori Riman integrali) deb ataladi va u kabi belgilanadi.
{S_p(f)} to’plamning aniq quyi chegarasi f(x) funksiya [a,b] dagi yuqori integrali deb ataladi va u kabi belgilanadi.
5-ta’rif. Agar f(x) funksiyaning [a,b] oraliqdagi qo’yi va yuqori integrallari bir-biriga teng bo’lsa, u holda f(x) funksiya [a,b] da integrallanuvchi deyiladi, ularning umumiy qiymati

f(x) funksiyaning [a,b] oraliqdagi aniq integrali (Riman integrali) deyiladi va u kabi belgilanadi. Demak,
.
Agar bo’lsa, u holda f(x) funksiya [a,b] da integrallanmavchi deyiladi.

4. 
   Aniq integral ta’riflarining ekvivaletligi
   

Yuqoridagi aniq integralning ikkinchi va beshinchi ta’riflarining o’zaro ekvivaletligi ekanligini isbotlaymiz:

a) f(x) funksiyaning [a,b] oraliqdagi σ integrallar yig’indisi λ_p→0 da chekli limitga ega, ya’ni

bo’lsin. Limitning ta’rifiga ko’ra "ε>0 son olinganda ham $d>0 topiladiki, [a,b] oraliqning diametrlari λ_pI-e ≤ s_p(f) ≤S_p(f) ≤ I+e (16)
tengsizliklar o’rinli bo’ladi. Ikkinchi tomondan
I^*=inf{S_p(f)} ≤ S_p(f), I_*=sup{s_p(f)} ≥ S_p(f)
I_*≤I^* bo’lgani uchun I-e≤I_*≤I^*≤I+e tengsizliklar o’rinli bo’ladi. e>0 sonning ixtiyorligidan I=I_*=I^* tenglik kelib chiqadi. Demak [a,b] da f(x) funksiyaning yuqori quyi integrallari bir – biriga teng. Bu esa beshinchi ta’rifga asosan f(x) funksiyaning [a,b] oraliqda integrallanuvchi ekanligini ko’rsatadi.
b)
bo’lsin. (10) tengsizlikka ko’ra s_p(f)≤σ≤S_p(f) tengsizlik o’rinli (16) ga asosan I_*-e<σ*+e o’rinli. Shartga ko’ra I_*=I^*=I bo’lgani uchun I-e<σ