1-ma’ruza: Chiziqli algebra

Chiziqli tenglamalar sistemasining Gauss usuli
Biz endi chiziqli tenglamalar sistemasini echishning Gauss usulini ko‘rib chiqamiz. Bu usulda noma’lumlarni ketma-ket yo‘qotish bilan echim topildi.
Bu usulni ko‘rishdan avval biz kengaytirilgan matritsa usulini ko‘rib chiqamiz. Bizga no‘zgaruvchili quyidagi tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin:

Bu sistemaning kengaytirilgan matritsasi deb quyidagi matritsaga aytiladi:

Biz xozir berilgan sistemaning kengaytirilgan matritsasi qanday qurilishini ko‘rsatamiz. Quyidagisistemaberilganbo‘lsin:

Uning kengaytirilgan matritsasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi:



Kengaytirilgan matritsani qurish uchun noma’lumlar koeffitsientlaridan tuzilgan matritsaning o‘ng tomoniga ozod hadlardan tuzilgan yangi ustun qo‘shiladi. Usulning asosiy goyasi berilgan sistemani unga teng kuchli bo‘lgan, lekin yechish oson bo‘lgan sistema bilan almashtirib, keyin hosil bo‘lgan sistemani yechishdan iborat. Yangi sistema odatda quyidagi amallarni bajarish natijasida bo‘ladigan bir nechta qadamlardan keyin hosil bo‘ladi:
1.Tenglamani 0 dan farqli o‘zgarmas songa ko‘paytiring.
2.Ikkita tenglamaning o‘rnini almashtiring.
3.Bir tenglamaga karrali tenglamani ikkinchisiga qo‘shing.
Kengaytirilgan matritsaning satrlari sistemadagi tenglamalarga mos kelgani uchun yuqoridagi uchta amal kengaytirilgan maritsa uchun quyidagicha bo‘ladi:
1.Satrni 0 dan farkli o‘zgarmas songa ko‘paytiring.
2.Ikkita satrning o‘rnini almashtiring.
3.Bir satrga karrali satrni ikkichisiga qo‘shing.
Bu amallar satrlar ustidaga elementar almashtirishlar deyiladi. Quyidagi misolni echish orqali bu amallarni qanday qo‘llanilishini ko‘rsatamiz.
Misol.Quyidagi tenglama berilgan:

Uningkengaytirilganmatritsasiquyidagiko‘rinishdabo‘ladi:

1 – satr elementlarini -2 ga ko‘paytirib 2- satr mos elementlariga qo‘shsak:
 
hosil bo‘ladi.
1 – satr elementlarini -3 ga ko‘paytirib 3- satr mos elementlariga qo‘shsak:
 
bo‘ladi.
2- satr elementlarini ga ko‘paytiramiz:
 
2- satr elementlarini -3 ga ko‘paytirib 3- satr mos elementlariga qo‘shamiz:
 
3- satr elementlarini -2 ga ko‘paytiramiz:
 
2- satr elementlarini -1 ga ko‘paytirib 1- satr mos elementlariga qo‘shamiz:
 
3- satr elementlarini - ga ko‘paytirib 1- satr mos elementlariga qo‘shamiz va ga ko‘paytirib 2- satr mos elementlariga qo‘shamiz:
 
Demak, sistemaning echimi x=1, y=2, z=3.
Yechimning kengaytirilgan matritsasidan x=1, y=2, z=3 ekanligi ko‘rinib turadi. Matritsani bu shaklga keltirish uchun u quyidagi shartlarni bajarishi kerak:

1. 
   Agar 1- satr faqat 0 eementlardan tashkil topmagan bo‘lsa uning 1- elementini 1 ga tenglab olamiz. Buning uchun uning elementlarini a₁₁ ga bo‘lib chiqamiz.
   
2. 
   Agar qandaydir satrlar faqat 0 lardan iborat bo‘lsa bu satrlar matritsaning pastki qismiga joylashtiriladi.
   
3. 
   Elementlari 0 lardan iborat bo‘lmagan ketma-ket kelgan ikkita satrdan quyidagisining 1 ga teng elmenti yuqorisidagining 1 ga teng elementidan 1 ustun chapda joylashgan bo‘ladi.
   
4. 
   1 elementi mavjud ixtiyoriy ustunning boshqa elementlari 0 ga teng bo‘ladi.
   

Endi kengaytirilgan matritsa ko‘rinishidagi quyidagi sistemalarni quraylik.
2 - misol.

O‘z-o‘zidan ko‘rinib turibdiki bu sistemaning echimi x=5, y=-2, z=4 bo‘ladi.
3 – misol.

Kengaytirilgan matritsani quyidagi tenglamalar sistemasi ko‘rinishida yozamiz:

Kengaytirilgan matritsaning 1 elementiga x₁, x₂, x₃ mos kelgani uchun ularni bazis elementlar deb ataymiz. x₄ esa erkli noma’lum deb ataladi.
U holda sistemaning echimi erkli o‘zgaruvchiga nisbatan quyidagicha topiladi:

Bundanko‘rinibturibdikierklio‘zgaruvchix₄ningo‘rnigaixtiyoriy qo‘ysakbo‘ladi. Uxoldasistemaquyidagiko‘rinishdabo‘ladi:

Demak sistema cheksiz ko‘p echimga ega.