1-ma’ruza: Chiziqli algebra

Chiziqli tenglamalar sistemasining
Jordan-Gauss usuli
Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usulida echishda tekshiruv ustuniga ega bo‘lgan matritsa usuli ko‘rildiki, natijada berilgan tenglamalar sistemasi uchburchak ko‘rinishiga keltirildi. Keyingi bayon uchun Jordan –Gaussning takomillashgan usuli bilan tanishish muhim ahamiyatga ega, bunda noma’lumlarning qiymatlari to‘g‘ridan–to‘g‘ri topiladi.
Bizga quyidagi chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo‘lsin:
 (1)
Bu sistemaning A matritsasidan 0 dan farqli elementini tanlaymiz. Bu element hal qiluvchi element deb ataladi. A matritsaning n-nchi ustuni hal qiluvchi ustun deb, q-nchi qatori hal qiluvchi qator deb ataladi.
Yangi tenglamalar sistemasini qaraymiz:
 (2)
Bu sistemaning matritsasi . Bu sistemaning koeffetsientlari va ozod hadlari quyidagi formulalardan aniqlanadi:

agari ≠ q.

Xususan, agar iq bo‘lsa bo‘ladi. Agarda i=q bo‘lsa u holda deb qabul qilamiz. Shunday qilib (1) va (2) sistemalardagi q-nchi tenglamalar bir hil bo‘lib, (2) sistemaning q-nchi tenglamasidan boshqa barcha tenglamalaridagi oldidagi koeffetsientlari 0 ga teng. Shuni ko‘zda tutish lozimki, (1) va (2) sistemalar bir vaqtda yoki birgalikda, yoki birgalikda emas.Ular birgalikda bo‘lgan holda teng kuchli sistemalardir (ularning echimlari ustma-ust tushadi).
matritsaning elementini aniqlashda «to‘rtburchak usuli» ni ko‘zda tutish foydalidir.
A matritsaning 4 elementini qaraymiz: (almashtirishga tanlangan element), (hal qiluvchi element) va , elementlar. elementni topish uchun to‘rtburchakning qarama-qarshi uchlaridagi va elementlar ko‘paytmasini elementga bo‘lib elementdan ayiramiz:

Xuddi shu tariqa (2) sistemani ham almashtirish mumkin, bunda matritsaning hal qiluvchi elementi sifatida elementini qabul qilamiz (sq,rp). Bu almashtirishdan so‘ng lar oldidagi barcha koeffitsientlar 0 ga teng bo‘ladi. Hosil bo‘lgan sistema yana almashtirilishi mumkin va hakozo. Agar r=n (sistemaning rangi noma’lumlar soniga teng) bo‘lsa, u holda bir qator almashtirishlardan so‘ng quyidagi tenglamalar sistemasiga kelamiz:


· · · · · · · ·

va bu tengliklardan noma’lumlarning qiymatlarini topamiz. Noma’lumlarni ketma-ket yo‘qotishga asoslangan bu echish usuli Jordan-Gauss usuli deb ataladi.