1-ma’ruza mavzu: Determinantlar Reja

3. Minorlar va algebraik to’ldiruvchilar. n-tartibli determinant.
1–ta’rif. n- tartibli determinantning istalgan ta satri va ta ustunlarini ajrataylik. Bu satrlar va ustunlarning kesishgan joylaridagi elementlarni determinantdagidek tartibda olib, ulardan - tartibli determinantni tuzsak, u ning k- tartibli minori deb ataladi.
2–ta’rif. determinantda ajratilgan ta satr va ta ustunni o’chiraylik. ning qolgan elementlarini shu dagidek tartibda olib, ulardan tartibli determinantni tuzsak, u, ga qo’shma minor deyiladi.
Misol. 5 tartibli.

determinantda 1- va 5- satrlarni, 3 va 4- ustunlarni ajratsak, ularning kesishgan joylaridagi elementlardan 2- tartibli

minor tuziladi. Bu ajratilgan satr va ustunlarni o’chirsak, qolgan elementlardan ushbu

qo’shimcha minor hosil bo’ladi.
3- ta’rif.

darajaning qo’shimcha minorga ko’paytmasi k- tartibli minorning algebraik to’ldiruvchisi (yoki M minorga mos algebraik to’ldiruvchi) deb ataladi, bunda mos ravishda, determinantning ga tegishli satr va ustunlarining raqamlarini bildiradi.
Algebraik to’ldiruvchi, odatda, A harf bilan belgilanadi Ta’rifga muvofiq:


.

Agar minor bitta elementdan iborat, ya’ni bo’lsa, unga mos algebraik to’ldiruvchini bilan belgilaydilar. Bu holda

.
Misol. Ushbu minorning algebraik to’ldiruvchisi




bo’ladi.


Laplas teoremasi
Lemma. minorning istalgan hadini shu minorga mos algebraik to’ldiruvchining istalgan hadiga ko’paytirsa, D determinantning hadi hosil bo’ladi.
Laplas teoremasi. - tartibli D determinantda istalgan ta satr (yoki ustun) ni ajratamiz . Bu ajratilgan satr (yoki ustun) larning elementlaridan tuzilgan hamma k- tartibli minorlarni o’z algebraik to’ldiruvchilari ko’paytirib natijalarni qo’shsak, yig’indi D determinantga teng bo’ladi.
Isboti. determinantda, masalan, qandaydir ta satrni ajratib, ulardan mumkin bo’lgan hamma tartibli minorlarni tuzaylik:

Bu minorlarning algebraik to’ldiruvchilari mos ravishda A_1, A₂ ,..., A_t bo’lsin. Ushbu
(1)

yig’indining D determinantga tengligini ko’rsatish kerak. Lemmaga binoan, har qaysi M_i A_i ko’paytmaning hadlari Dning hadlaridan iborat. Shu bilan birga, hyech qaysi ikki va ko’paytma o’xshash hadlarga ega emas, chunki va minorlar bir-biridan aqalli bitta ustun bilan farq qiladi. Shunday qilib, (1) yigindi determinantning o’xshashmas hadlaridangina tuzilgan.

Endi (1) yig’indida haddi n! ta had borligini isbot qilishgina qoladi.
Har bir minor k – tartibli determinant bo’lgani uchun, k! ta hadga ega. Uning algebraik to’ldiruvchisi esa (n-k) tartibli determinant bo’lib, ta hadga ega. Demak (1) yigindida k! (n-k)! t ta had bor. Endi, t ning nimaga tengligini topamiz. Ajratilgan k ta satrdan tuziladigan M_i minorlarining soni n ta raqamdan k tadan olib tuzilgan kombinasiyalarning soniga teng, ya’ni

shunday qilib, (1) yig’indidagi hamma hadlarning soni

shu bilan,

tenglik isbotlanadi. Bu teorema, D determinantning k- tartibli minorlari buyicha yoyish qoidasini beradi.
Misol. Ushbu:

determinantni 2-tartibli minorlar bo’yicha yoyaylik. Determinantda, masalan, 1 va 2 satrlarni ajratsak, ularning elementlaridan, hammasi bo’lib

ta 2- tartibli minor tuziladi. Laplas teoremasiga asosan quyidagini hosil qilamiz: