1-ma’ruza: Tasodifiy vektorlar. Tasodifiy vekor komponentalarining taqsimotlari. Korrelyatsiya koeffitsienti va uning хossalari

3-Ma’ruza: Markaziy limit teorema. Lyapunov teoremasi.
Reja.
1. Markaziy limit teorema.
2. Lyapunov teoremasi.
Tayanch so’z va iboralar: markaziy limit teorema, Lyapunov teoremasi.

Markaziy limit teorema

Markaziy limit teorema t.m.lar yig‘indisi taqsimoti va uning limiti – normal taqsimot orasidagi bog‘lanishni ifodalaydi. Bir xil taqsimlangan t.m.lar uchun markaziy limit teoremani keltiramiz.
Teorema. bog‘liqsiz, bir xil taqsimlangan, chekli matematik kutilma va dispersiyaga ega bo‘lsin, u holda t.m.ning taqsimot qonuni da standart normal taqsimotga intiladi
. (1)
Demak, (11) ga ko‘ra yetarlicha katta n larda , yig‘indi esa quyidagi normal qonun bo‘yicha taqsimlangan bo‘ladi:
. Bu holda t.m. asimptotik normal taqsimlangan deyiladi.
Agar X t.m. uchun bo‘lsa X t.m. markazlashtirilgan va normallashtirilgan(yoki standart) t.m. deyiladi.
(1) formula yordamida yetarlicha katta n larda t.m.lar yig‘indisi bilan bog‘liq hodisalar ehtimolligini hisoblash mumkin. t.m.ni standartlashtirsak, yetarlicha katta n larda
Yoki . (2)
1-misol. bog‘liqsiz t.m.lar [0,1] oraliqda tekis taqsimlangan bo‘lsa, t.m.ning taqsimot qonunini toping va ehtimollikni hisoblang. Markaziy limit teorema shartlari bajarilganligi uchun, Y t.m.ning zichlik funksiyasi bo‘ladi. Tekis taqsimot matematik kutilmasi va dispersiyasi formulasidan , bo‘ladi. U holda
, shuning uchun, . (2) formulaga ko‘ra,


4-Ma’ruza:Matematik statistikaning asosiy masalalari. Bosh va tanlanma to‘plamlar. Guruhlangan va interval variatsion qatorlar
Matematik statistikaning asosiy masalalari.
Statistik tahlil qilish uchun dastlab statistik ma'lumotlarga ega bo’lish kеrak. Statistik ma'lumotlar kuzatuvlar yoki tajribalar asosida to’planadi.
Masalan:
1.Aholining o’rtacha yoshi, oilalardagi bolalarning o’rtacha soni va boshqa tomonlarini bilish uchun aholini ro’yxatdan o’tkazish ishlari olib boriladi. Bunda mamalakatdagi barcha kishilar va oilalar haqidagi ma'lumotlar hisobga olinadi. Bu esa ular asosida chiqarilgan xulosalarning to’la va aniqroq bo’lishini ta'minlaydi. Lеkin hamma vaqt ham barcha ma'lumotlarni yig’ishning iloji bo’lmaydi.
2. Bizni har bir paxta ko’chatidan olinadigan hosilning o’rtacha og’irligi qiziqtirsin (yoki katta partiyada kеltirilgan har bir dеtalning talabga javob bеrishligi yoki har bir ishlab chiqarilgan elеktr lampochkasining o’rtacha ishlash vaqti). Bu holda barcha paxta ko’chatlari (yoki dеtallar yoki lampochkalar) haqida ma'lumotlarni yig’ish (har birini tеkshirish) juda ko’p mеhnat va mablag’ni talab qiladiki, bu esa maqsadga muvofiq emas. Yuqorida kеltirilgan misollarda masalan, barcha paxta ko’chatlarini emas balki bir qismini (masalan 1 gеktar) tanlab olish, barcha dеtal yoki lampochkalarni emas, balki bir qismini (masalan 100 ta yoki 300 tasini) tanlab olish va ular haqida kеrakli ma'lumotlarni yig’ib xulosalar chiqarish mumkin.
Matematik statistika tasodifiy hodisalar yoki jarayonlar haqida shu hodisalarni kuzatish yoki tajribalar natijasida olingan ma’lumotlar asosida umumiy xulosalar chiqaradigan matematik fandir.
Bu xulosalar umumiylik xususiyatlariga ega bo‘lib, kuzatilayotgan tasodifiy holatlarning barchasiga taaluqlidir. Matematik statistika ehtimollar nazariyasiga tayangan holda, uning usullari va nazariy xulosalari asosida o‘rganilayotgan obyekt haqida xulosalar chiqaradi. Agarda ehtimollar nazariyasida biz o‘rganayotgan matematik model to‘la-to‘kis berilgan deb hisoblab, bu model bizni qiziqtirayotgan holatlarni o‘rgansak, matematik statistikada biz qandaydir tasodifiy hodisalar natijalaridan kelib chiqqan holda(bular ko‘pchilik hollarda sonlardan iborat bo‘ladi), tasodifiy jarayonlarning matematik modelini tuzishga harakat qilamiz. Matematik statistika o‘zining xulosa chiqarish usullari yordamida o‘rganilayotgan obyektning nazariy ehtimoliy modelini tuzishga qaratilgan. Masalan, Bernulli sxemasida biz kuzatayotgan A hodisaning bitta tajribada ro‘y berish ehtimolligi p bo‘lsin. Bizni n ta bog‘liqsiz tajribalar natijasida A hodisasining k ( ) marta ro‘y berish ehtimolligi qiziqtirsin. Bu masala ehtimollar nazariyasining usullari bilan to‘liq hal etiladi. Endi shunday masala qo‘yilsin: n ta bog‘liqsiz tajribalarda bizni qiziqtiradigan A hodisa k marta ro‘y bersin. U holda shu hodisaning bitta tajribada ro‘y berish ehtimolligi p deb qanday miqdorni olish kerak? Bu hol matematik statistikaning namunaviy masalasidir. Ko‘rinib turibdiki, matematik statistika masalalari ehtimollar nazariyasi masalalariga teskari masalalar ekan.
Matematik statistika o‘z hulosalarida biz qiziqayotgan tasodifiy hodisalarni tavsiflaydigan, odatda sonlardan iborat bo‘lgan statistic ma’lumotlar asosida o‘rganilayotgan tasodifiy jarayonning nazariy-ehtimoliy qonuniyatlarini tuzish uchun turli usullarni ishlab chiqishga qaratilgandir.
Endi Bernulli sxemasi misolida matematik statistika shug‘ullanadigan va hal qilinadigan asosiy masalalarni ko‘rib chiqaylik.