1-ma’ruza: Vektorlar. Vektorlar ustida chiziqli amallar. Vektorlarning chiziqli bog`liqligi

2-Mavzu: Bir o`zgaruvchili tenglama va tеngsizliklar.

Tenglamalarning ilk yechimlari eramizdan 2000 yilcha oldin yozilgan Rhind papirusida yozilgan. Berilgan masalalar arifmetik masalalar bо‘lgan. Masalan, „massa va uning 1/7 ning yig‘indisi 19 ga teng“ kabi masalar uchun tenglamalar yozilgan. Bunday masala uchun noma’lumni x deb belgilab, x+1/7x kabi sodda tenglama yozilgan. Arifmetik masalalardan keyin ikki noma’lum qiymatli tenglamalar yuzaga kelgan. Yunonlar qо‘shaloq chiziqli tenglamalarni bilishgan. Arximedning „chorva masalasi“ kabi sistemalarda berilgan noaniq tenglamar Diofant bir necha shunaqa tenglamani ishlab kо‘rsatib bermagunicha jiddiy о‘rganilmagan.

Kvadrat tenglamalar yunonlar proporsiyalarni о‘rganishayotganida mavjudaga kelgan. Ular kvadrat tenglamalarni geometrik usulda yechishgan. Ammo bu geometrik usulning hozirgi umumlashtirilgan algebraik geometriyaga aloqasi yо‘q. Algebraik geomotriyada grafiklar bilan tenglamalarni yoki aksincha, tenglamalarni grafiklar bilan ifodalash mumkin. Sodda kvadrat tenglama ikki a va b chiziqlari orasidagi о‘rtacha proporsional x ni aniqlashda yoki berilgan tо‘rtburchakka teng kavdratni topishda kelib chiqqan. Ishlatilgan proporsiya a:x = x:b kо‘rinishida bо‘lgan. Bu ifoda bо‘lsa x² = ab ga tengdir. x²+ax-a² kо‘rinishidagi umumiyroq tenglama berilgan biror-bir chiziq medianasini topish kerak bо‘lgan masalaning algebraik ekvivalentidir. Diofantga kvadrat tenglamaning algebraik yechimi ma’lum bо‘lgan deb aytiladi. Ammo u faqat bitta ildizni payqagan.

Rene Dekart tenglamalarni grafik figuralar qilib ifodalashni kо‘rsatib bergan.oddda kub tenglama biri ikkinchisidan ikki marta uzun bо‘lgan ikki chiziq о‘rtasida x va y о‘rtacha proporsionallarni topish kerak bо‘lgan masalada berilgan. Buni a:x=x:y=y:2a kо‘rinishida ifodalash mumkin. Bu ifodadan x² = ay va xy = 2a² kelib chiqadi. y ni yо‘q qilsak x³ = 2a³ sodda kub tenglama hosil bо‘ladi. Yunonlar bu tenglamani yecha olishmagan. Bu tenglama yana kubning dublikatini yasashda va burchakni chizg‘ich yoki sirkul bilan teng uchga bо‘lishda ham yuzga kelgan. Burchak bо‘lish uchun sissoida, konxoida va kvadratrisa kabi mexanik egri chiziqlardan foydalanishgan. Bunday yechimlarni arablar takomillashtirgan. Ular kub va bikvadrat tenglamalarni konus kesimlari bilan yechishgan. Diofant boshlagan va hundlar takomillashtirgan tenglamalarning taxminiy ildizlarini algebraik yо‘llarda yechish usullarini arablar yanada oldinga surishgan. Kub va bikvadrat tenglamalarning algebraik yechimlari 16-asrda S. Ferro, N. Tartaglia, H. Cardan va L. Ferrari tomonidan ishlab chiqilgan.

Beshinchi darajali tenglamalarni yechishga kо‘p urinilgan. P. Ruffini va N. H. Abel buning iloji yо‘qligini isbotlashgan. C. Hermite va L. Kronecker elliptik funksiyalardan iborat yechimini kо‘rsatgan. F. Klein ham bu tenglamalarni yechishning yana bir boshqa yо‘lini taklif qilgan.

Tenglamalarga geomotrik yondoshishda yunonlar va arablar ba’zi bir egri chiziqlar va figuralarning xossalaridan kelib chiqib xulosalar qilishgan. Proporsiyalardan foydalanib xususiy hollar uchun yechim topilgan, ammo umumiy hol uchun qoniqarli javob bо‘lmagan. Bu muammoni 17-asrda Rene Dekart bartaraf qilgan. U tenglamalarning grafik yechimlarini tushuntiruvchi umumiy teoremani ishlab chiqqan. Xususan, Dekart konik kesimlar ishlatilgan hollarni kо‘rsatib bergan. Bundan tashqari, Dekart har bir tenglama geometrik nuqtalar joylashishiga egaligini va har bir geometrik nuqtalar joylashashi tenglamaga egaligini kо‘rsatgan. Ikki x va y noma’lumli tenglamalarni ifodalash uchun Dekart bir-birga perpendikular ikki о‘qni olgan. x ni gorizontal о‘q bо‘ylab va y ni vertikal о‘q bо‘ylab о‘lchagan. Keyin u chiziqli tenglama tо‘g‘ri chiziqni ifodalashini va kvadrat tenglama konik chiziqni ifodalashani kо‘rsatib bergan. Tenglamani yechish — bu uning barcha ildizlarini topish yoki ularning yо‘qligini (mavjud emasligini) isbot qilishdir. Ba’zan ildizlarga qо‘shimcha cheklashlar qо‘yiladi. Masalan, tenglama ildizlar faqat butun sonlar bо‘lishi talab qilinishi mumkin.

Funksiya argumenti (ba’zan „о‘zgaruvchi“ deb atalaladi) tenglamalarda nо‘malum miqdor deb ataladi.

O’zgaruvchi qatnashgan tenglik tenglama deyiladi. Tenglamaning umumiy ko’rinishi f(x)=g(x). Biz bu o’zgaruvchini noma’lum son deb ham atashimiz mumkin. O’zgaruvchilar bir xil bo’lsa, darajasiga qarab tenglamaga nom beramiz. Tenglikning ikkala tomonida xam o’zgaruvchilar bir xil bolsa xamda o’zgaruvchining eng yuqori darajasi birga teng bolsa, bunday tenglama birinchi darajali bir o’zgaruvchili tenglama deyiladi. Misol: . Biz buni bir o’zgaruvchili chiziqli tenglama deb ham ataymiz. Tenglikning ikkala tomonida xam o’zgaruvchilar bir xil bolsa xamda o’zgaruvchining eng yuqori darajasi ikkigaga teng bolsa, bunday tenglama ikkinchi darajali bir o’zgaruvchili tenglama deyiladi. Misol . Biz buni kvadrat tenglama deb ham ataymiz. Va h.k.

О‘zgaruvchining f(x) va g(x) ifodalar bir xil son qiymatlar qabul qiladigan har qanday qiymati tenglamaning ildizi yoki yechimi deyiladi. bu tenglamaning yechimi ga teng. Chunki berilgan tenglamaning ikkala tomonidagi o’zgaruvchilarga ham 1 sinini qo’ysak 7=7 tenglik hosil bo’ladi.

Bir xil ildizlarga ega tenglamalar teng kuchli tenglamalar deyiladi. tenglamalar teng kuchli tenglamalar chunki ikkala tenglamaning ham yechimi ga teng.

Ildizga ega bо‘lmagan har bir tenglama ham teng kuchli hisoblanadi. Tenglamani yechish jarayonida uni soddaroq, lekin berilgan tenglamaga teng kuchli bо‘lgan tenglama bilan almashtirishga harakat qilinadi. Shuning uchun har qanday shakl almashtirishlarda berilgan tenglama unga teng kuchli tenglamaga о‘tishini bilish muhimdir.

Tenglamani yechishda quyidagi asosiy xossalalrdan foydalaniladi:

1-xossa. Tenglamaning istalgan xadi ishorasini qarama-qarshisiga o’zgartirib, tenglikning bir tomonidan ikkinchisiga o’tkazish mumkin

2-xossa. Tenglamaning ikkala qismini nolga teng bo’lmagan bir xil songa ko’paytirish yoki bo’lish mumkin.

Bu xossalar bir no’malumli istalgan tenglamani yechish imkonini beradi.

Buning uchun:

-Tenglamadagi ma’lum va no’malum hadlar topiladi.

-Tenglamadagi noma’lum hadlar tenglikning bir qismiga, ma’lum hadlar esa ikkinchi qismiga ishorasi qarama qarshi holatda o’tkaziladi (1-xossa).

-O’xshash hadlar ixchamlanadi.

-tenglamaning ikkala qismini noma’lum oldida turgan songa bo’linadi(agar u nolga teng bo’lmasa).

Tenglamalarning asosiy xossalari
Tenglama tarkibidagi algebraik ifodalar ustida turli amallar bajarish mumkin. Bunda tenglamaning ildizlari о‘zgarmaydi. Keng tarqalgan amallar quyidagilardir:

1. 
   Tenglamaning har iki tomoniga aynan bir xil haqiqiy sonni qо‘shish mumkin.
   
2. 
   Tenglamaning har iki tomonidan aynan bir xil haqiqiy sonni ayirish mumkin.
   
3. 
   Tenglamaning har iki tomonini 0 dan boshqa har qanday haqiqiy songa bо‘lish mumkin.
   
4. 
   Tenglamaning har iki tomonini har qanday haqiqiy songa kо‘paytirish mumkin.
   
5. 
   Tenglamaning istagan tomonida qavslarni ochish mumkin.
   
6. 
   Tenglamaning istagan qismida о‘xshash qо‘shiluvchilarni keltirish mumkin.