1-ma’ruza: Vektorlar. Vektorlar ustida chiziqli amallar. Vektorlarning chiziqli bog`liqligi

6×0 6×2 6×7 0 12 42

Matritsalarni qo¢shish va songa ko¢paytirish amallari uchun quyidagi tеngliklar o¢rinli bo¢ladi:

l (А±В) = lА ± lВ , ( l ± m ) А = l А ± m А,

0 × А = О , l × О = О

Ikki to’g’ri chiziq fazoda kesishgan, parallel, uchrashmas (ayqash) holarlarda bo’lishi mumkin.

1. Kesishuvchi to’g’ri chiziqlari. Agar fazoda ikki to’g’ri chiziq o’zaro kesishgan bo’lsa, ularning gorizontal, frontal va profil proyeksiyalar tekisliklardagi bir nomli proyeksiyalari ham o’zaro kesishgan bo’ladi va kesishish nuqtalari bir bog’lovchi chiziqda yotadi. 1-shakl, a va b larda fazoda va epyurda kesishgan a va b to’g’ri chiziqlarning K(K₁K₂) nuqtada o’zaro kesishishi va epyurda kesishish nuqtalarini bir bog’lovchi chiziqda yotishi ko’rsatilgan.

2. Parallel to’g’ri chiziqlar. Ikki to’g’ri chiziq fazoda o’zaro parallel bo’lsa, ularning proyeksiyalar tekisliklaridagi bir nomli proyeksiyalari ham o’zaro parallel bo’ladi.

2-shakl, a va b larda ikki s va t to’g’ri chiziqlarning o’zaro parallelligi ko’rsatilgan. Chiziqlarning parallelligini bilish uchun berilgan kesmaning gorizontal proyeksiyalari uzunliklari nisbatini frontal proyeksiyalari uzunliklari nisbatiga solishtirib ko’rish kerak. Bu holda nisbatlar teng bo’lsa chiziqlar parallel bo’ladi.

Yoki parallel chiziqlarning uchlari birlashtirilganda, ularning bir nomli proyeksiyalarining kesishgan nuqtasi (E₁E₂) bir bog’lovchi chiziqda bo’ladi.

3. Uchrashmas to’g’ri chiziqlar. Uchrashmas to’g’ri chiziqlar ayqash chiziqlar ham deb ataladi. Bunday chiziqlar o’zaro kesishmaydilar va parallel ham bo’lmaydilar. Bu chiziqlarning umumiy nuqtasi bo’lmaydi. Bunday chiziqlarningbir nomli proyeksiyalari kesishgan nuqtalari bir bog’lanish chizig’ida yotmaydi. Uchrashmas to’g’ri chiziqlar proyeksiyalarining kesishgan nuqtasi fazodagi bu to’g’ri chiziqlarning ikki nuqtasining proyeksiyalari bo’ladi. Bunday nuqtalar konkurent nuqtalar deb ataladi. 3-shakl, a va b lardagi 1₁1₂ va 2₁2₂ hamda 3₁3₂ va 4₁4₂ nuqtalar konkurent nuqtalarga kiradi. Bu yerda a₁, a₂ da yotuvchi 1₁1₂ nuqta, b₁b₂ da yotuvchi 2₁2₂ nuqtaga qaraganda yuqorida joylashgan. Buni nuqtalarning frontal proyeksiyalar 1₂ va 2₂ lardan yaqqol ko’rish mumkin. shuning uchun 1₁1₂ nuqta ko’rinar, 2₁2₂ nuqta esa ko’rinmasdir. Shuningdek, 4₁4₁ nuqta 3₁3₂ nuqtaga qaraganda kuzatuvchiga yaqin joylashgan. Demak, 4₁4₂ nuqta ko’rinar, 3₁3₂ nuqta esa ko’rinmas bo’ladi. Konkurent nuqtalar geometrik shakllarning epyurda ko’rinar va ko’rinmas qismlarini aniqlashga imkon beradi.

4. To’g’ri chiziq kesmasini berilgan nisbatda bo’lish. Parallel preksiyalarning xosalariga muvofiq, to’g’ri chiziq kesmalarining nisbati ular proyeksiyalarining nisbatiga teng. Shunga ko’ra, kesmani epyurda berilgan bo’lish uchun uning proyeksiyalarini shu nisbatda bo’lish kerak.

AB kesmani bo’rilgan 2:3 nisbatda bo’lishni ko’rib chiqamiz (4-shakl). Buning uchun kesma gorizontal proyeksiyasining A₁ uchidan o’tkazilgan yordamchi chiziqda beshta (2+3) ixtiyoriy uzunlikda, lekin o’zaro teng kesma qo’yilgan. So’ngra, 5-nuqta D₁ bilan tutashtiramiz va 2-nuqtadan 5B₁ ga parallel chiziq o’tkazib, C₁ nuqta keyin C₂ nuqtani topamiz. Topilgan C nuqta AB kesmani 2:3 nisbatda bo’ladi.

Kesmani berilgan nisbatda bo’lish usulidan foydalanib, epyurda ₃ tekislikka parallel bo’lgan profil chiziqdagi nuqtaning bir proyeksiyasi bo’yicha ikkinchi proyeksiyasini topish mumkin. Misol tariqasida ₃ ga parallel AB chiziqning gorizontal izini shu usul bilan topishni ko’rsatamiz (5-shakl). Ma’lumki, to’g’ri chiziq gorizontal izining frontal proyeksiyasi M₁ uning frontal proyeksiyasi A₂B₂ ning davomi bo’lib OX o’qining kesishuv joyida bo’ladi. Demak, gorizontal proyeksiyada shunday M nuqta topish kerakki, undagi kesmalarning nisbati A₁B₁:B₁M₁=A₂M₂:B₂M₂ bo’lsin. Bu nuqta yordamida chiziqqa qo’yilganda A₁B₀=A₂M₂ va B₀M₀=B₂M₂ kesmalar hamda o’zaro parallel B₀B₁=M₀M₁ chiziqlar yordamida topiladi. Xuddi shu kabi yasash bilan chiziqning frontal izini ham topsa bo’ladi