1. Matritsali o‘yinlar

O‘yinlar nazariyasi
Reja:

1. Matritsali o‘yinlar

2. Matritsali o‘yinni chiziqli dasturlash masalasiga keltirish
1. Matritsali o‘yinlar
Ishlab chiqarish va iqtisodiyot sohasida ko‘plab amaliy masalalarni yechishda konflektli jarayonlar (situatsiya) kelib chiqadi. Konflektli jarayonlar o‘z ichiga juda ko‘plab omillarni oladi. Ko‘p hollarda jarayonni o‘rganish qulay bo‘lishi uchun asosiy omillarni hisobga olib, ikkinchi darajali omillarni hisobga olmay uning matematik modelini tuzamiz. Bunday konflekt jarayonning qisqartirilgan modeli o‘yin deyiladi. O‘yin aniq bir qoidaga binoan olib boriladi.
O‘yin ma'nosi shundan iboratki har bir qatnashuvchi shunday bir yechimni qabul qiladiki, u o‘yin oxirida eng yaxshi natijaga erishsin. O‘yin natijasi (isxod) - bu bir necha funksiyalar qiymati bo‘lib, unga yutuq funksiyasi yoki to’lov funksiyasi deyiladi. Agar o‘yinchilar yutuq summasi nolga teng bo‘lsa, unda o‘yinga nolinchi summali o‘yin deyiladi.
Har qanday juft o‘yinni matritsa ko‘rinishida ifodalash mumkin
(7.1)
Aytaylik, matritsaning qatorlari birinchi o‘yinchining mumkin bo‘lgan A₁, A₂, …, A_m yurishlarini, ustunlari esa ikkinchi o‘yinchining mumkin bo‘lgan B₁, B₂, …, B_m yurishlarini aniqlasin. A matritsaga to‘lov yoki yutuq matritsasi deyiladi. Matritsaning har bir a_ij elementi birinchi o‘yinchi A_i yurishni tanlab, ikkinchi o‘yinchi B_j yurishni tanlagandagi birinchi o‘yinchining yutug‘ini (ikkinchi o‘yinchining yutqazuvini) anglatadi.
O‘yinning maqsadi birinchi o‘yinchini maksimal yutuqqa va ikkinchi o‘yinchini minimal yutqazishga erishishni ta'minlash uchun eng ma'qul strategiyani tanlashdan iborat.
Agar birinchi o‘yinchi biror A_i strategiyani tanlasi, u hech bo‘lmaganda yutuqqa erishadi. Buni hisobga olib, bu o‘yinchi o‘zining eng kam yutuqlarini maksimallashtiruvchi, ya'ni tenglikni ta'minlovchi yurishni tanlaydi. Bu yerda  kattalik o‘yinning quyi bahosi va unga mos strategiya maxsmin deyiladi.
Ikkinchi o‘yinchi, o‘z navbatida, o‘zining eng katta mumkin bo‘lgan yutqazuvlarini minimallashtiruvchi, ya'ni tenglikni ta'minlovchi yurishni tanlaydi. Bu yerda  kattalik o‘yinning yuqori bahosi va unga mos strategiya minimax deyiladi.
Agar = bo‘lsa, ya'ni tenglik bajarilsa, u holda V o‘yinning bahosi deyiladi. Bu shartni qanoatlantiruvchi A matrsaning a_ij elementiga o‘yinning egar nuqtasi deyiladi.
Demak, matritsali o‘yin egar nuqtaga ega bo‘lsa, uning yechimi maxsmin va minimax usullari bilan topiladi.
1 misol. Berilgan matritsali o‘yin uchun quyi va yuqori baholarni hamda o‘yinning optimal bahosini toping.

Matritsa qatoridagi eng kichik elementlar quyidagilardan iborat:

Demak, o‘yinning quyi bahosi
(7.2)
bo‘ladi. Endi har bir ustundagi eng katta elementni topamiz.

U holda, o‘yinning yuqori bahosi quyidagiga teng bo‘ladi.
(7.3)
Bu o‘yinning quyi va yuqori baholari o‘zaro teng bo‘lgani uchun o‘yinning optimal bahosi V===5 bo‘ladi. Bu bahoni ta'minlovchi a₃₁ element o‘yinning egar nuqtasi va A₃ va B₁ strategiyalar optimal strategiya bo‘ladi.
Agar yutuqlar matritsasi egar nuqtaga ega bo‘lmasa, u holda maksmin va minimax usullar bilan o‘yinning yechimini topib bo‘lmaydi. Bu holda o‘yinning yechimini topishda aralash strategiyalar usulidan foydalaniladi.
Birinchi o‘yinchining aralash strategiyasi deb, komponentalari quyidagi
(7.4)
shartlarni qanoatlantiruvchi X=(x₁, x₂, … , x_m) vektoriga aytiladi. Bunda har bir x_i birinchi o‘yinchining A_i yurishini tanlash ehtimolini bildiradi.
Ikkinchi o‘yinchining aralash strategiyasi deb, komponentalari quyidagi (7.5)
shartlarni qanoatlantiruvchi Y=(y₁, y₂, … , y_n) vektoriga aytiladi. Bunda har bir y_j ikkinchi o‘yinchining B_j yurishini tanlash ehtimolini bildiradi.
Aralash strategiyalar usulida birinchi o‘yinchi A_i yurishini tanlab, ikkinchi
o‘yinchi B_j yurishini tanlagandagi birinchi o‘yinchining yutug`i sifatida uning yutishining matematik kutilishi olinadi, ya'ni u quyidagiga teng bo‘ladi
(7.6)
V(x,y) funksiya to‘lov yoki yutuq funksiyasi deyiladi.
Agar birinchi o‘yinchi o‘zining optimal strategiyasini qo‘llasa, u holda ikkinchi o‘yinchi qanday strategiyani tanlashdan qat'iy nazar, uning yutug`i o‘yinning V bahosidan kam bo‘lmaydi, ya'ni
. (7.7)
Xuddi shuningdek, agar ikkinchi o‘yinchi o‘zining optimal strategiyasini qo‘llasa, u holda birinchi o‘yinchi qanday strategiyani tanlashidan qat'iy nazar, uning yutqazuvi o‘yinning V bahosidan oshmaydi, ya'ni
. (7.8)