1-Mavzu: Bo’linuvchanlik tushunchasini o’rganish metodikasi

1-Mavzu: Bo’linuvchanlik tushunchasini

o’rganish metodikasi

Sonli va harfiy ifodalarni bo’linuvchanlik xususiyatini o’rganishda bo’linish alomatlari, Ferma teoremasi, ikki hadning yuqori darajasini ko’paytuvchilarga ajratishda Evklid algoritmi muhim rol o’ynaydi. Sonlarni bo’linish alomatlari uning o’nli yoyilmasidan foydalanish orqali isbotlanadi. Sonning ko’rinishi quyidagicha bo’lsin:

Masalan: son ga bo’linishi uchun dan -oxirgi raqamining bo’lishi zarur va yetarlidir.

ga bo’linishi uchun esa uning raqamlar yeg’indisi ga bo’linishi zarur va yetarli.

Ferma teoremasi. uchun o’rinli. -tub son.

Ferma teoremasiga ko’ra

Masalan,

Xulosa. ta ketma-ket natural sonlar ko’paytmasi ga karrali.

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   
   

Misol. isbotlang.

Evklid algoritmi. Berilgan sonlarni EKUB ni topishda foydalaniladigan usuldir. Evklid algoritmi uchun quyidagi xossalar o’rinli.

1. 
   
   

Misol:

2. 
   
   
3. 
   
   

Misol: soni toq songa bo’linmasligini isbotlang.

Isboti. Faraz qilaylik bo’lsin. ning eng kata tub bo’luvchisi bo’lsa,

o’rinli.

Evklidning 2-xossasiga ko’ra:

bo’lsa, ( - ning eng kata bo’linuvchisi)

8 tub songa bo’linmaydi. Demak, faraz noto’g’ri.

2-Mavzu: Radikallarda yechish mumkin bo’lmagan tenglamalar

Radikallarda yechish mumkin bo’lmagan tenglamalar diafant tenglamalar deyiladi. Ular ikki turga bo’linadi:

1. Bir o’zgaruvchili yuqori darajali tenglamalar

2. Ko’p o’zgaruvchili diafant tenglamalar. Bu ham o’z navbatida ikkiga bo’linadi:

a) Ko’p o’zgaruvchili chiziqli tenglamalar

b) Ko’p o’zgaruvchili yuqori darajali tenglamalar

Diafant tenglamasining asosiy xususiyati tenglamadagi koeffitsientlarning butun sonlardan iborat ekanligidir. Shu ma’noda diafant tenglamalari butun koeffitsientli tenglamalar deyiladi.

Bir noma’lumli yuqori darajali diafant tenglamasi quyidagicha:

(1)

(1) tenglama quyidagi xosslarga ega:

1. Kompleks son to’plamida (1) tenglama ta ildizga ega.

2. Ratsional koeffitsientli tenglamani umumiy mahrajga keltirish orqali butun koeffitsientli tenglamaga keltirish mumkin.

3. (1) tenglamada noma’lumning eng yuqori darajasi toq bo’lsa, u kamida bitta haqiqiy ildizga ega.

4. (1) tenglamani belgilash orqali bosh koeffitsienti birga teng tenglamaga keltirish mumkin. Ya’ni:

(2)

5. (2) tenglamaning ratsional ildizlari butun sonlardan iborat bo’lsin. Faraz qilaylik, (2) tenglamaning ildizlari bo’lsin. U holda

Tenglikni ikkala tomonini ga ko’paytiramiz

Xulosa. Demak, faraz noto’g’ri. Faqat butun ildiz mavjud.

6. (2) tenglamaning ildizlari ozod koeffitsientining bo’luvchilaridan biri bo’ladi.

Faraz qilaylik tenglamani ildizi bo’lsin. U holda o’rinli bo’ladi.

Xulosa.

7. (2) tenglamaning ildizi bo’lsa, va qiymatlar butun son bo’lishi zarur va yetarlidir.

8. (1) tenglamaning ildizlari oraliqda yotadi. Bu yerda , - tenglamaning musbat ildizlari eng yuqori chegarasi

- tenglamaning manfiy ildizlari eng quyi chegarasi

9. Agar qiymat (1) tenglamaning musbat ildizi bo’lsa, o’rinlidir.

Izoh. Manfiy ildiz chegaralari va almashtirish orqali aniqlanadi. Musbat ildizlarining quyi chegarasini topish uchun almashtirish bajariladi.

10. (1) tenglamaning ratsional ildizlari bo’lsa, koeffitsientining bo’luvchilari, ning bo’luvchilari bo’ladi.

Misol:

ildiz chegaralari

- ratsional ildiz

Javob:

3-Mavzu: Ko’p o’zgaruvchili diafant tenglamalari

Ko’p o’zgaruvchili diafant tenglamalari 2 turga bo’linadi:

1) Ko’p o’zgaruvchili chiziqli tenglamalar. M:

2) Ko’p o’zgaruvchili ixtiyoriy darajali tenglamalar. M:

Ko’p o’zgaruvchili chiziqli tenglamalarni yechishda o’zgaruvchilar soni taga tushiriladi va koeffitsientlarni karrali ko’paytuvchilarga ajartish orqali beerilgan tenglama ta parametrga bog’liq yechimga keltiriladi.

M: tenglamani butun sonlarda yeching.

Pifagor teoremasi.

2) tenglamani butun sonlarda yeching.

3) tenglamani butun sonlarda yeching.

almashtirish orqali Pifagor teoremasiga keltiriladi.

4) tenglamani butun sonlarda yeching.

Agar - toq bo’lsa, - toq son

Agar - juft bo’lsa.

5) tenglamani butun sonlarda yeching.

a) butun son bo’lsa,

b) irratsional son bo’lsa, boshlang’ich ildiz

Boshlang’ich ildiz : teng son olinadi.

M: tenglamani butun sonlarda yeching

Javob:

4-Mavzu: Diafant tenglamalari va ularni o’rganish metodikasi

I. ko’rinishidagi tenglamalar.

Agar ko’rinishidagi tenglamani butun sonlardagi yechimlari so’ralayotgan bo’lsa, 2 ta holat ko’rib chiqiladi.

Agar tenglamaning o’ng tomonidagi ozod son 4 ga karrali bo’lmasa, qoldiqlar .

Har qanday sonning kvadratini 4 ga bo’lsak 0 va 1 qoldiq qolishi ma’lum. Ya’ni . Agar, bo’lsa, u holda va toq son sifatida qaraladi va shart ostida va kvadrati va ning yarmiga teng bo’lgan sonlar orasida joylashgan toq son izlanadi. Agar bo’lsa, butun sonlar to’plamida tenglamaning yechimi mavjud emas. Agar bo’lsa, va toq son bo’ladi. Agar bo’lsa, u holda juft sonlar qaraladi. kelib chiqadi.

bo’lsa, va hokazo. Tenglamani o’ng qismidagi ozod son toq bo’lgunga qadar davom ettiramiz.

M: juft son

juft son

shartga ko’ra

Tekshirish.

II. tenglamani butun sonlardagi yechimi quyidagi teoremadan topiladi.

Teorema. tenglamaning butun sonlardagi umumiy yechimi quyidagicha

bu yerda - boshlang’ich ildiz.

va - tenglamaning umumiy yechimi

Agar bo’lsa, bo’ladi.

Bundan natural sonlar to’plamida bo’sh to’plam

Eslatma!!! . Boshlang’ich ildiz ifodadan topiladi.

M: tenglamani butun sonlarda yeching.

a) Tanlash usuli.

Boshlang’ich ildiz ; Umumiy yechim

b) Zanjir kasr usuli

. Demak umumiy yechim quyidagicha bo’ladi:

umumiy yechim.

III. tenglamani butun sonlarda yeching.

deb olamiz.

umumiy yechim.

M: tenglamani butun sonlarda yeching.

bo’ladi. U holda umumiy yechim quyidagicha:

Bu misolni butun sonlarda yechimi yo’q .

5-Mavzu: Tengsizliklar tushunchasini o’rganish

metodikasi

Agar bo’lsa, kabi belgilanadi. Agar bo’lsa, kabi belgilanadi. Agar bo’lsa, kabi belgilanadi.

Agar ikki son o’zaro teng bo’lmasa, ular tengsizlik munosabati orqali bog’langan. Tengsizliklar quyidagi xossalarga ega:

1. bo’lsa, bo’ladi.

2. bo’ladi.

3. bo’lsa, bo’ladi.

4. bo’ladi.

5. bo’ladi.

6. bo’lsa, bo’ladi.

7. bo’lsa, da o’rinli.

Koshi tengsizligi

1. o’rta kvadratik

2. o’rta arifmetik

3. o’rta geometric

4. o’rta garmonik

Koshi teoremasi.

1-misol. tenglamani butun sonlarda yeching.

Javob:

2-misol. Isbotlang

3-misol. Isbotlang

6-Mavzu: Koshi – Bunyakovskiy tengsizligi. Shvarts va Koshi tengsizligini o’rganish.

Haqiqiy sonlardan iborat hamda sonlar berilgan bo’lsin.

Teorema. va haqiqiy sonlar uchun quyidagi tengsizlik o’rinlidir.

Isboti. Qo’shimcha va yeg’indi kiritamiz. Bizga ma’lumki, . Demak, qo’shimcha ifodaga gacha qiymat berib, hadma-had qo’shamiz.

1-misol. bo’lsa, ni isbotlang.

2-misol. bo’lsa, ni isbotlang.

o’rinli ekanligidan

3-misol. bo’lsa, ni isbotlang.

1)

2)

4-misol. Agar bo’lsa, ni isbotlang.

isbotlandi.

7-Mavzu: Bernulli tengsizligi

Teorema. Quyidagi haqiqiy sonlar uchun ushbu tengsizlik o’rinli bo’ladi:

Bu tengsizlik Bernulli tengsizligi deyiladi. bo’ladi.

Isboti. uchun, o’rinli

uchun o’rinli deb, da isbotlaymiz (mat.induksiya).

Teorema. Haqiqiy sonlar ketma-ketligi uchun quyidagi tengsizlik o’rinli bo’ladi:

bu yerda ketma-ketlik ning ixtiyoriy kombinatsiyasi

lar uchun esa

bu yerda ketma-ketlik ning ixtiyoriy kombinatsiyasi

2-misol. Agar , bo’lsa, isbotlang.

deb belgilaymiz.

bo’lsa,

8-Mavzu: Urinma tenglamasidan foydalanib bir jinsli tengsizliklarni isbotlash metodikasi

Ta’rif. ( bu yerda belgilardan biri. ) tengsizlik berilgan bo’lsin. Agar funksiya nol jinsli bo’lsa, u holda tengsizlik bir jinsli tengsizlik deyiladi.

Teorema. Agar tengsizlik bir jinsli tengsizlik bo’lsa, u holda bu tengsizlik uchun quyidagilardan ixtiyoriy birini tanlab olish mumkin:

bu yerda ;

Masalan. tengsizlikni olaylik.

bir jinsli. Demak,

Bir jinsli tengsizliklarni isbotlashda quyidagi algoritmga amal qilinadi.

1. Funksiya bir jinsli ekanligi tekshiriladi.

2. Bir jinsli tengsizlik uchun teoremada keltirilgan ifodalardan biri tanlab olinadi va ular orqali bir o’zgaruvchili funksiya tuziladi.

3. Bu funksiyaga nuqtada o’tkazilgan urinma tenglamasini tuzamiz.

4. Funksiya va urinma tenglamasiga tengsizlikdagi noma’lumlarga qo’yib chiqish va natijani qo’shib yuborish, ko’paytirish yoki bo’lish orqali izlanayotgan tengsizlik isbotlanadi.

1-misol. Agar bo’lsa, ni isbotlang.

Ushbu tengsizlikka mos funksiya tuzib olamiz: . Endi ushbu funksiyaga nuqtada o’tgan urinma tenglamasini tuzamiz.

;

2-misol. Agar bo’lsa, ni isbotlang. (Yaponiya 1997).

orqali soddalashtirib olamiz.

. Endi funksiya tuzib, unga nuqtada o’tgan urinma tenglamasini tuzamiz.

isbotlandi.

3-misol. Rossiya 2003. ni isbotlang.

isbotlandi.

4-misol. Fransiya 2007. Agar bo’lsa, u holda

ni isbotlang.

isbotlandi.

9-Mavzu: Jenson tengsizligi va uni o’rganish metodikasi.

Matematik analiz kursidan ma’lumki, funksiya botiq bo’lsa , , haqiqiy sonlar uchun uyidagi munosabat o’rinli: .

Teorema. Jenson tengsizligi. Agar funksiya o’zining aniqlanish sohasida botiq bo’lsa (), haqiqiy sonlar to’plamidan olingan sonlar uchun va uchun yoki o’rinli.

Izoh: Agar funksiya o’zini aniqlanish sohasida qavariq bo’lsa (), u holda yuqoridagi tengsizlik ishorasi teskarisiga o’zgaradi :

1-misol. ni isbotlang. Bunda

funksiya da qavariq . U holda tengsizlik ishorasi o’zgaradi.

2-misol. Agar bo’lsa, ni isbotlang.

- botiq funksiya. Tengsizlik ishorasi o’zgarmaydi.

;

3-misol. Agar bo’lsa, ni isbotlang.

- botiq funksiya. Tengsizlik ishorasi o’zgarmaydi.

;

isbotlandi.

10-Mavzu: Uchburchaklar bilan bog’liq tengsizliklarni o’rganish metodikasi

Uchburchakning burchaklari bilan bog’liq ko’plab ayniyat va tengsizliklar mavjud. Ularni isbotlashda trigonometric shakl almashtirishlar, Jergon va Koshi tengsizliklari va ba’zi ayniyatlardan foydalaniladi. Masalan:

Uchburchakning ichki burchaklari bo’lsin . U holda

1.

2.

3.

4.

5.

1-tengsizlikni isboti.

.

Uchburchakka oid tngsizliklar.

1-misol.

demak funksiya qavariq.

ga ko’ra

2-misol.

3-misol.

4-misol.

5-misol.

10-Mavzu: Uchburchak tushuchasi. Styuart va Karno

teoremalarini o’rganish

Ta’rif. Uchburchakning ixtiyoriy uchini shu uch qarshisidagi tomon bilan tutashtiruvchi chiziq cheviana deyiladi.

Ta’rif. Agar uchburchakning uchta chevianasi bitta nuqtada kesishsa, ular konkurent deb ataladi.

Styuart teoremasi. Uchburchakning tomonlari ga teng bo’lsa, uning ixtiyoriy tomoniga tushirilgan cheviana quyidagicha topiladi:

- Styuart formulasi

Isboti. uchburchakdan kosinuslar teoremasiga

ko’ra: (1)

Uchburchak dan esa

(2)

1-misol. Uchburchakning tomonlari ga teng. Uning medianasi va bissektrisasini toping. -?

1. 
   Medianani topish
   

2. 
   Bissektrisani topish
   

isbotlandi.

Karno teoremasi. uchburchakning tashqarisidagi ihtiyoriy nuqtalardan uning tomonlariga o’tkazilgan perpendikulyarlar uchburchak ichida bitta nuqtada kesishsa, u holda quyidagi formula o’rinli bo’ladi:

Isboti.

va dan

va dan

(1) va (2) lardan

va dan

va dan

(4) va (5) lardan

va dan

va dan

(7) va (8) lardan

(3) , (6) va (9) – tengliklarni qo’shamiz:

11-Mavzu: Cheva va Menelay teoremalarini

o’rganish metodikasi

Cheva va Menelay teoremalari uchburchaklarning chevianalari bilan bog’liq masalalarni yechishda foydalaniladi.

Cheva teoremasi. Agar uchburchakning chevianalari konkurent bo’lsa, quyidagi munosabat o’rinli bo’lishi zarur va yetarlidir:

Isboti. tomonga balandlik tushuramiz.

va

Isboti.

nuqtadan tomonga balandlik tushuramiz.

dan ekanligini ko’ramiz.

Praporsiyaning hossasiga ko’ra, agar praporsiyaning hadlari bo’lsa, u holda bo’ladi.

Ya’ni, hosil bo’ladi.

Yuqoridagi ishlarni boshqa tomonlar uchun ham qo’llaymiz. Ya’ni va tomonlarga ham balandliklar tushuramiz. Natijada:

(1) , (2) va (3) tengliklarni bir-biriga ko’paytiramiz.

isbotlandi.

Chevaning ekvivalent teoremasi

Uchburchakning chevianalari konkurent bo’lsa, u holda quyidagi munosabat o’rinli bo’ladi:

Isbot.

Sinuslar teoremasidan foydalanamiz.

dan

dan

1. 
   ni (2) ga bo’lamiz:
   

va dan

va dan foydalanamiz.

(3), (4) va (5)ni ko’paytiramiz:

Menelay teoremasi. Uchburchakning 2 tomonidan olingan ixtiyoriy bittadan nuqtalardan o’tuvchi to’g’ri chiziq uchinchi tomonining davomidagi nuqta bilan kesishsa u holda quyidagi munosabatning bajarilishi zarur va yetarlidir.



Isbot:

Bu yerda ,va balandliklar

dan

dan

dan

(1), (2), va (3) ifodalarni ko’paytiramiz:

11-Mavzu: To’rtburchak tushunchasini o’rganish metodikasi.

Bredshneyder teoremasi

To’rtburchaklar ikki turga bo’linadi: qavariq va botiq.

Ta’rif. Agar to’rtburchakning ikkala dioganali ham to’rtburchak tekislikda yotsa, bunday to’rtburchaklar qavariq deyiladi. Qavariq to’rtburchakning ixtiyoriy tomoni davom ettirilsa, to’rtburchak shu to’g’ri chiziqdan bir tomondan yotadi.

Ta’rif. Agar to’rtburchakning dioganallaridan biri to’rtburchak tekisligida yotmasa bunday to’rtburchak botiq deyiladi.

Teorema. To’rtburchakning 4 ta tomoni 2ta dioganali hamda 2ta qarama-qarshi burchaklari uchun quyidagi munosabat o’rinli:

Isboti.

va uchun

sinuslar teoremasini

qo’llaymiz. Natijada:

(1) va (2) ni ko’paytiramiz.

va uchun cosinuslar teoremasini qo’llaymiz.

va va lardan , , larni topamiz:

; ;