1-mavzu: chekli elementlar usulining asosiy tushunchalari

Galerkin usuli. Bazis yoki koordinatali funksiya deb nomlanuvchi quyidagi ko`rinishdagi funksiyalarni kiritaylik: . (1.1), (1.2) masalalarning taqribiy yechimi quyidagi ko`rinishda izlanadi
, (1.5)
koeffitsientlar chiziqli algebraik tenglamalar sistemasidan topiladi
(1.6)

(1.5) ni hisobga olgan holda, bu sistema batafsil yoziladi:

yoki , bunda

Bu yerda qatnashadigan integrallarni hisoblash uchun odatda kvadratur formulalar qo'llaniladi.
(1.6) sistemaning xossalari va uning yordamida tuzilgan taqribiy yechim koordinata sistemasi bilan aniqlanadi. Agar koordinata sistemasi muvaffaqiyatli tanlansa, u holda hisoblash usulining aniqligi n ortishi bilan yaxshilanadi. Shuni ko`rsatish mumkinki, agar koordinata tizimi chiziqli bog`lanmagan bo`lsa, (1.6) chiziqli tenglamalar tizimining A matritsasi musbat aniqlangan. Bundan, Galerkin usuli tizimning bir qiymatli yechimi ekanligi kelib chiqadi.
Galerkin usulining koordinatalar sistemasiga misollar keltiraylik:
a) polinomli sistema:
;
b) trigonometrik sistema:

Ko'rsatilgan yoki shunga o'xshash koordinatali tizimlardan foydalanganda Galerkin usuli matritsasi to'ldiriladi, ya'ni uning barcha elementlari noldan farqli. Bu Galerkin usulini chiziqli tenglamalar tizimining matritsasi, ya’ni siyraklashgan matritsa bo'lgan ayirmali usuldan tubdan farq qiladi.
1943 yilda R.Kurant Galerkin usulida bazis funksiyalarni maxsus tanlash bilan chiziqli tenglamalar sistemasiga olib kelimishi, ularning xossalari ayirmali tenglamalarga juda yaqin ekanligini payqadi. Eng oddiy holatlarda usul ayirmali usul bilan mos keladi. Keyinchalik (elliginchi yillarda) Kurant tomonidan taklif qilingan usul muhandislar tomonidan kashf qilindi, sezilarli darajada rivojlantirildi va umumlashtirildi. Hozirgi vaqtda chekli elementlar usuli (FEM) deb nomlangan bu usul differensial tenglamalarni taqribiy yechish uchun eng keng tarqalgan usullardan biridir.