1-мавзу. Дастлабки тушунчалар Моделлаштириш тушунчаси
Download 0.97 Mb.
|
1-боб
|
1-мавзу. Дастлабки тушунчалар 1.Моделлаштириш тушунчаси. 2.Иктисодий объектларнинг математик моделлари. 3. Моделлар тури. 4.Тœплам тушунчаси,тœпламлар устида амаллар. 5.Функция ва унинг берилиш усуллари. 6.Функция хоссалари. 7.Элементар функциялар. 8.Функцияларни классификациялаш. 9.Иктисодда учрайдиган функцилар. Моделлаштириш тушунчаси Математиканинг астраномия, механика, физика каби фанларга тадбиšлари šадимдан маълум. XX- асрнинг 40 йилларида электрон ќисоблаш машиналарининг кашф šилиниши, айниšса, ахборот технологияларининг кейинги тараššиёти, бир томондан математик усулларнинг имкониятини оширган бœлса, иккинчи томондан унинг тадбиšлари доирасини кескин кенгайишига олиб келди. Ќозир математика šœлланилмайдиган бирор соќага мисол келтириш šийин. У тобора кœп фанларнинг назарий ва тадбиšий изланишларида универсал šуролга айланиб бормоšда. Ќозир математика деганда табиат ќаšидаги барча билимларимизни системага солувчи, табиат ва жамиятдаги реал жараёнларнинг математик моделларини œрганувчи фан тушинилади. Дастлаб, нима учун моделлар керак деган саволга жавоб беришга ќаракат šиламиз. “Модель” тушунчасининг œзи нимадан иборат эканлигини аниšлаштиришимиз лозим бœлади. Сабаби, бу тушунчага турли маънолар бериш мумкин. Аввалом бор мисолларга мурожаат šиламиз. Оš šора телевизордаги бирон бир нарсанинг тасвирини уша нарсанинг модели деб šараш мумкин. Бу моделда, масалан œша нарсанинг реал ранги эътиборга олинмайди. Агар шу нарсанинг рангли телевизордаги тасвирини олсак, бу ќам œша нарсанинг моделидан иборат бœлиб, бу модел аввалгисидан реалликка анча яšин бœлади. Бу мисол шуни кœрсатадики, агар биз бирон-бир нарсанинг моделини кœрмоšчи бœлсак, табиий равишда šаралаётган нарсанинг айрим хусусиятлари моделда уз ифодасини топмайди. Турли иšтисодий – математик моделларни яратиш, уларни œрганиш, таќлил šилиш ва хулоса чиšариш мана шу модел ифодаловчи реал иšтисодий борлиš устида изланишлар šилиш, тажрибалар œтказиш, таќлил šилиш ва хулоса чиšариш кœп ќолларда жуда šимматга тушса, айрим ќолларда мумкин ќам бœлмайди. Ќаёт тажрибаси шуни кœрсатадики, иšтисодиётда, аввалдан унинг моделини таќлил šилиш ва хулосалар чиšармасдан, тœђридан-тœђри иšтисодиётнинг œзида шундай тажрибалар œтказиш, кераксиз ќаражатлари сарфлашга ва салбий ќолатларга олиб келар экан. Šаралаётган масаланинг моќиятига кœра моделлар турли маšсадларни кœзлаб яратилиши мумкин. Шунга кœра моделнинг кœриниши ќам турли бœлади. Масалан, агар шаќар туманининг бош режаси šаралаётган бœлса, табиий равишда бу режа чизмада ёки макет шаклида ифода šилиниши мумкин. Макет кœринишда бœлган моделда биз реал ќолатда šила олмайдиган ќаракатларни бажара оламиз. Масалан, макетда тасвирланган айрим нарсаларни, айтайлик бирон-бир бинони, бир жойдан иккинчи жойга осонликча šœйишимиз мумкин, шу билан биз энг šулай вариантларни танлаш имконига эга бœламиз. Физикадаги формула юšоридан пастга эркин тушаётган жисмнинг босиб œтган йœли билан ваšтни боглайди, бу ерда эркин тушаётган жисмнинг жойга бођлиš булган тезланишидир. Мана шу формула šаралаётган модел тенглама орšали ифода этилганини кœрсатиб турибди. Мисоллардан кœриниб турибдики, модел œзи акс эттирган нарса тœђрисида янги маълумотларни олиш ёки œша нарса тœђрисида кейинчалик тиклаб бœлмайдиган айрим маълумотларни саšлаб šолишга ќам хизмат šилиши мумкин экан. Œрганилаётган нарсаларни моделлаштириш билан жараён тугамайди. Балки, модел кœрилиб, унинг ёрдамида айрим натижалар олиниб, бу натижаларни реаллик билан солиштириш ќам лозим бœлади. Агар бу солиштиришлар натижалари šониšарли бœлмас экан, у ќолда моделга баъзи-бир œзгаришлар киритишга ёки умуман янги модел кœришга ќам тœђри келиши мумкин. Агар бу солиштиришлар яхши натижаларга олиб келса, яъни реаллик билан етарлича устма-уст тушса, у ќолда мана шу устма-уст тушишлик чегаралари аниšланиши керак бœлади. Энди модел тушунчасига таъриф берамиз. Таъриф. Биз œрганмоšчи бœлган борлиš объектнинг ёки ќаёлий нарсанинг энг муќим хусусиятларини ифода šилувчи, унинг муќим параметрларини œзида мужассам šилган материал ёки идеал кœрилмага модел дейилади. Моделлар, таърифда айтилгандек материал ва идеал кœрилма кœринишида бœлиши мумкин экан. Материал моделлар сифатида фото сурат, телевединие экранидаги тасвир, бино макети ва шунга œхшаш мисолларни кœрсатиш мумкин. Идеал моделлар эса асосан белгилар, математик ифодалар ёрдамида мана шу белгилар, математик ифодалар эса реал нарсалар орасидаги муносабатларни, тенгламалар, тенсизликлар, графиклар, компьютер учун дастурлар ва бошšалар асосида тасвирлайди. Математик моделлар идеал моделлар сирасига киради. Бу моделлар одатда математик белгилар, сонлар, функциялар, тенгламалар, графиклар ва ќаказолар ёрдамида кœрилади. Иšтисодий объектларнинг математик моделлари Иšтисодий объектларнинг математик моделлари тенгламалар, тенгсизликлар, мантиšий бођланишлар, графиклар, графлар ва ќоказолар ёрдамида ифодаланади яъни тасвирланади. Бу тасвир таркибига œрганилаётган нарсанинг ташкил этувчи элементлари орасидаги бођланишлар ќам кириши керак бœлади. Бу деган сœз, модел šаралаётган иšтисодий объектнинг шартли бир тасвири эканлигини бидиради. Моделни œрганиш объект тœђрисида янги маълумотларни олиш ва турли ќолатларда уларга мос келувчи энг яхши (оптимал) ечимлар топишга имкон беради. Турли иšтисодий жараёнларни œрганиш учун, иšтисодчилар, соддалаштирилган, формаллаштиришган иšтисодий моделлардан фойдаланадилар. Иšтисодий моделларга мисол сифатида талаб ва таклиф модели, фирма модели, Леонтив модели, иšтисодий œсиш модели, товар молия бозорларидаги мувозанат ќолатининг модели ва бошšаларни келтириш мумкин. Модел тузишда моделлаш-тирилаётган объектдаги жараёнларни белгиловчи муќим факторлар олиниб, муќим бœлмаганлари эса модел таркибига киритилмайди. Иšтисодий моделларни кœришда šуйидагиларга риоя šилиш талаб šилинади. изланишнинг предмети ва маšсади баён šилинади; šаралаётган иšтисодий объектдаги таркибий ва функционал элементлардан кœзланаётган маšсадга жавоб берувчилари ажратиб олиниб, шу элементларнинг энг муќим сифат кœрсаткичлари баён этилади; модел элементлари орасидаги бођланишлар сифати жиќатлари сœз билан ифода šилиниб берилади; иšтисодий объектнинг кœрсаткичларини белгилар ёрдамида ифодалаб, улар орасида бођланишларни имкони борича формаллаштириш керак бœлади. Натижада šаралаётган иšтисодий объектнинг математик модели тузилади, ќосил бœлади; яратилган математик модел ёрдамида ќисоб-китоблар олиб борилиб, олинган натижалар таќлил šилинади Шуни таъкидлаш лозимки, математик моделнинг таркибий тузилиши билан шу модел ифодаловчи иктисодий объектлар турли маънони касб этиши мумкин. Масалан: формула орšали кœрилган математик моделни турли маънода иšтисодий талšин этиш мумкин. Айтайлик, масалан банкнинг йиллик ставка фоизи 20% бœлса ( ), бир йилдан сœнг 12000 сœм олиш учун ( ) банкка неча сœм ( ) šœйиш лозим, деган масала юšоридаги формула ёрдамида ечилади. Шунингдек, šуйидаги масалада яъни, техник янгиланишлар натижасида завод бир йилдаги œртача иш унумдорлиги 20 % га ( ) ортган бœлиб, йил охирида 12000 дона ( ) маќсулот ишлаб чиššан бœлса, техник янгиланишдан аввал заводнинг ишлаб чиšариш ќажми ( ) šанча бœлган, деган масала ќам шу формула орšали ифодаланади. Иšтисодий моделлар šаралаётган иšтисодий объект фаолиятидаги муќим œрин тутадиган таркибий šисмларни аниšлашга ва шулар асосида ушбу объектнинг келажак фаолиятидаги œзгаришларни, айрим параметрлар œзгаришига бођлиš равишда олдиндан башорат šилиш имконини беради. Моделда параметрлар орасидаги бођлиšликларни миšдорий жиќатдан баќолаш мумкин бœлгани учун, башоратни етарлича аниšликда ва етарлича ишонч даражасида бажариш мумкин бœлади. Ќар бир иšтисодий объект учун, унинг келгусидаги ќолатини башорат šилиш мана шу объект учун аввалом бор энг яхши натижаларга эришиш, ќар хил салбий ќолатларни четлаб œтишга хизмат šилиши керак бœлади, хусусан, давлат миšёсидаги иšтисодий сиёсат ќам ана шундай башоратлар асосида олиб борилади. Шуни таъкидлаш лозимки, ќар šандай иšтисодий модел, маълум маънода идеаллаштирилгандир. Шунинг учун ќам улар тœлиš бœла олмайди. Бу моделларни кœришда моделлаштирилаётган иšтисодий объект фаолиятида œрин эгаллаган факторлар ичидан, масалан, моќиятига монанд энг муќимлари ажратиб олиниб, šолганлари эса эътиборга олинмайди. Модел турлари Иšтисодда фойдаланиладиган математик моделларни šатор хусусиятларига кœра бир неча турларга ажратиш мумкин. Масалан, макро ва микро- иšтисодий моделлар, назарий ва амалиёт моделлари, оптималлаштириш ва мувозанат моделлари, турђун (статик) ва ќаракат (динамик) моделлар, нотасодифий (дитерминистик) ва тасодифий (стохастик) моделларни кœрсатиш мумкин. Макроиšтисодий моделлар иšтисодни бир-бутунликда šараб, йирик моддий ва молиявий кœрсаткичлар орасидаги бођлиšликларни œзида мужассам этади. ЯМД (ялпи миллий даромад), эќтиёж инвестициялари, иш билан таъминлан-ганлик, фоиз ставкалари, муомаладаги пул миšдори ва бошšа йирик факторлар макроиšтисодий моделда ќисобга олинади. Микроиšтисодий моделлар иšтисоднинг таркибий ва ќаракатдаги šисмлари учун ёки унинг маълум бир шундай бœлагига бозор иšтисоди шароитидаги œрни ва ќолатини œрганиш учун кœрилади. Иšтисод тармоšларининг турли-туманлилиги, улар орасидаги бођланишлар турининг хилма-хиллиги, микроиšтисодий моделлаштириш иšтисодий-математик назариясининг асосий бœлагини ташкил этади. Назарий моделлар иšтисоднинг умумий хусусиятлари ва таркибий šисмлари орасидаги бођланишлар тœђрисидаги хулосаларни, аввалдан šабул šилинган ёки бериладиган формал ќолатлардан келтириб чиšариш учун кœрилади. Амалиёт моделлари муайян иšтисодий объект фаолиятидаги šатнашаётган параметрлар орасидаги бођланишлар кœринишини бериб, шу бођланишлар ёрдамида маълум амалий ечимларни šабул šилишни тавсия этиш учун кœрилади. Амалиёт моделларига, авваломбор эконометрик моделлар киради. Бундай моделлар иšтисодий œзгарувчиларнинг миšдорий šийматларидан статистик хулосалар чиšаришда фойдаланилади. Мувозанат моделлари иšтисоднинг унга таъсир этаётган барча кучларнинг тенг таъсир этувчиси нолдан иборат бœлган ќолати учун кœрилади. Статик моделлар иšтисодий объектнинг муайян ваšтдаги ёки даврдаги ќолати учун кœрилади. Динамик моделлар объектнинг иšтисодий ќолатини ваšт давомида œзгаришини ифодалаш учун кœрилади. Динамик моделларда, одатда дифференциал ва айирма тенгламалари, вариацион ќисоблардан фойдаланилади. Нотасодифий моделларда, œзгарувчилар орасида šатъий бођланишлар бор деб šаралади. Тасодифий моделларда иšтисодий объект фаолияти тасодифий ќолатларни ќисобга олган ќолда кœрилиб, эќтимоллар назарияси ва математик статистика услублари šœлланилади. Кейинги бобларда олий математиканинг асосий тушунчалари берилади ва бир šанча иšтисодий-математик моделлар кœрилади. Тœплам ва функция. Биз бирон бир нарсаларнинг мажмуасини œрганар эканмиз, уларни атрофдаги бошšа нарсалардан фарšлаб, ажратиб šараймиз. Мана шу фарšлашни šаралаётган нарсалар учун маълум шартлар œринли бœлишлиги орšали бера оламиз. Р -фарšлашни аниšлайдиган шарт деб, х-нарса учун Р-шарт œринли эканлигини Р (х) шаклда ифода этса, ёзув орšали Р шартни šаноатлантирувчи барча нарсалар мажмуасини белгилаймиз. Мана шу мажмуа - тœплам, уни ташкил этувчи нарсалар унинг элементлари деб аталади. Масалан - Р- šаралаётган соннинг натурал сон эканлигини англатса , у ќолда - барча натурал сонлар тœпламидан иборат бœлади. Яна бошšа мисол, агар Р- šаралаётган учбурчак тенг ёнли учбурчак эканлигини англатса, у ќолда - барча тенг ёнли учбурчаклар тœпламидан иборат бœлади. Тœплам турли кœринишларда берилади. Тœпламни уни ташкил этувчи элементларини кœрсатиб œтиш орšали бериш мумкин. Масалан, Р- šаралаётган натурал соннинг 9 дан катта эмаслигини англатса, у ќолда- тœпламни кœринишда бериш мумкин. Тœпламни геометрик шакл кœринишда ќам бериш мумкин. Масалан, Р- текисликдаги нуšта координата бошидан 1 га тенг масофада ётишини англатса, у ќолда - тœпламни текисликдаги маркази координата бошида, радиуси 1 га тенг айлана шаклида ифода эта оламиз, яъни Y 1 -1 0 1 Х
-1 Тœпламлар кœпинча лотин алифбосининг катта харфлари А, В, С, ..., уларни ташкил этувчи элементлар эса кичик харфлар билан а, в, с ..., белгиланади. х-А тœпламининг элементи эканлигини х А шаклда, х А тœпламнинг элементи эмаслигини эса х А каби ифода этилади. х А ёзувни «х-А га тегишли», «х- А да ётади», ёки «х- А нинг элементи» деб œšиш мумкин. Юšоридаги šœштирноš ичидаги жумлаларга «эмас» иборасини šœшиб х А ёзувини œšишимиз мумкин. х А ва А х ёки х А ва А х ёзувлар бир хил маънодаги ёзувлар деб šаралади. Айрим тœпламлар учун махсус белгилар киритилган. Масалан: N= р: р -натурал сон , Z= m: m - бутун сон , Q = p: p- рационал сон , R = х: х - хаšиšий сон , яъни N - натурал сонлар тœлами, Z -бутун сонлар тœплами, Q - рационал сонлар тœплами, R - хаšиšий сонлар тœплами экан. Барча хаšиšий сонлар тœплами R ни (- , + ) шаклида ќам ифода этиш šабул šилинган. Айрим ќолларда šаралаётган тœпламнинг биронта ќам элементи бœлмаслиги мумкин, бундай тœплам бœш тœплам деб номланиб, унинг учун махсус белги - (ёки А) ишлатилади. Масалан: х: х R ва х2+1=0 = бœш тœпламдир, чунки ќар šандай хаšиšий х сон учун х2 + 1 1, яъни х2+ 1 0 бœлади. Шуни таъкидлаш лозимки, тœпламда тенг элементлар бœлмайди, яъни тœпламни ташкил этувчи элементлар турлича бœлиши керак. Математикада айрим кœп учрайдиган иборалар учун šисšача мантиšий белгилар киритилган. Шулардан айримларини келтириб œтамиз: « »- мавжудлик квантори деб аталади, бу белги бирон шартни šаноатлантирувчи нарсанинг мавжудлигини англатади. Масалан: « в В» ёзув «В тœпламнинг шундай в элементи мавжудки» деган маънони англатади. « »- ихтиёрийлик квантори деб аталади. Бу белги «исталган», «барча», «ќар бир», «ихтиёрий»- иборалар маъносини англатади. Масалан, « а А» учун ёзув «А тœпламининг исталган а элементи учун» деган маънони англатади. « » - мантиšий белги «келиб чиšади» ибора маъносини англатади. Масалан «n исталган натурал сон бœлса, у ќолда бу сон бутун сон бœлади» деган жумлани šисšача šуйидагича ёзишимиз мумкин « n N n Z». « »- мантиšий белги «фаšат ва фаšат шу ќолдаки», «зарур ва етрали» маъносини англатади. Масалан, «р соннинг рационал бœлишлиги учун уни, бутун сонни натурал сонга нисбати шаклида ифода этилиши мумкинлиги зарур ва етарлидир» ёки «р сон фаšат ва фаšат шу ќолда рационал сон бœладики агар уни бутун сонни натурал сонга нисбати шаклида ифодалаш мумкин бœлса» деган жумлани šуйидагича ифода šила оламиз р Q p : m Z, n N . 1-Таъриф. Агар А- тœпламнинг ќар бир элементи В- тœпламнинг ќам элементи, яъни учун а бœлса, у ќолда А- тœплам В- тœпламнинг šисми (ёки А тœплам В тœпламининг тœплам остиси), дейилиб, бу ќолат А В ёки В А шаклда ифода этилади. Масалан, N Z Q R муносабатлар œринлидир. Шуни таъкидлаш лозимки, А В муносабат œринли эканлигини кœрсатиш учун А нинг ќар бир элементи В га тегишли эканлигини кœрсатиш орšали бажаришдан фарšли, бошšача усул ќам мавжуд. Бу усул šуйидаги теорема орšали берилади. 1-Теорема. Агар В тœпламга тегишли бœлмаган ќар šандай элемент А тœпламга ќам тегишли бœлмаса, у ќолда А тœплам В тœпламнинг šисми бœлади. Исбот. Хаšиšатдан ќам, агар А тœплам В нинг šисми бœлмаса, А да шундай х А элемент мавжуд бœлар эдики, бу элемент В га тегишли бœлмас эди, яъни х В. У ќолда теорема шартига кœра х А бœлиши керак. Бу эса šарама- šаршиликдир. Демак А В бœлар экан. Бу теоремадан фойдалансак, бœш тœплам ќар šандай тœпламнинг šисми эканлиги келиб чиšади, яъни исталган В тœплам учун В бœлади. 2-Таъриф. Агар А В ва В А муносабатлар œринли бœлса, А тœплам В тœпламга тенг дейилиб, А=В шаклда ифода этилади. Масалан х:х R, x2-1=0 = . Таърифдан келиб чиšадики, элементлари бир ќил бœлган тœпламлар œзаро тенг бœлади. Тœпламлар устида амаллар. 3-Таъриф. А га ёки В га тегишли элементлардан ташкил топган тœплам шу тœпламларнинг бирлашмаси дейилиб А В шаклда ифода этилади, яъни А В= х: х А ёки х В . 4-Таъриф. Бир пайтда А га ва В га тегишли элементлардан ташкил топган тœплам шу тœпламларнинг кесишмаси (кœпайтмаси) дейилиб А В шаклда ифода этилади, яъни А В= х: х А ва х В . 5-Таъриф. А тœпламнинг В тœпламга тегишли бœлмаган элементларидан ташкил топган тœплам, А ва В тœпламлар айирмаси, ёки В тœпламнинг А тœпламгача бœлган тœлдирувчиси дейилиб, А \ В шаклда ифода этилади, яъни А \В= х: х А ва х В . 6-Таъриф. А тœпламнинг В га кирмаган ёки В тœпламнинг А га кирмаган элементларидан ташкил топган тœплам А ва В тœпламларнинг симметрик айирмаси дейилиб, А В шаклда белгиланади, яъни А В= (А\В) (В\А). Юšорида киритилган тœпламлар устидаги амаллар учун šуйидаги хоссалар œринли бœлади: А В= В А А В= В А (А В) С=А (В С) (А В) С=А (В С) (А В) С=(А С) (В С) (А \В) С=(А С)\ (В С) (А В) С=(А С) (В С) Бу хоссаларнинг исботлари бир- бирига œхшаш бœлгани учун улардан бирини, масалан, 5 -хосса исботини келтирамиз. Демак, (А В) С=(А С) (В С) тенглик œринли эканлигини исбот šиламиз. 2-таъриф бœйича бу тœпламлар устма-уст тушишини текширамиз: х ва ва ёки ва , (1) œз навбатида ёки ёки ва . (2) (1) ва (2) муносабатлардан 2- таърифга кœра (А В) С=(А С) (В С) тенглик келиб чиšади. Šолган хоссалар исботини œšувчиларга машš сифатида тавсия этамиз. Тœпламлар устида киритилган амалларни геометрик шакл кœринишда ифода этайлик. Šуйидаги чизмаларда штрихланган šисмлар šаралаётган тœпламлар устидаги амалга мос келади. А В А В А В А В А В Агар šаралаётган масала моќиятидан келиб чиšиб, юзага келадиган барча тœпламлар бирон- бир тœпламнинг šисми эканлиги маълум бœлса, тœплам универсал тœплам дейилади. Бу ќолда, учун деб белгиланиб, тœплам А тœпламнинг тœлдирувчиси ( тœпламгача тœлдирувчиси) дейилади. Масалан, биз фаšат хаšиšий сонлар билан иш кœрадиган бœлсак, у ќолда R тœпламни универсал тœплам сифатида šарашимиз мумкин. Берилган универсал тœплам учун šуйидагилар œринли бœлади: ; ; ; ; ; ; = = . Бу тенгликлар исботини œšувчига ќавола šиламиз. Универсал тœплам сифатида хаšиšий сонлар тœплами R ни олсак, унинг šисми бœлган тœплам сонли тœплам дейилади. а,в хаšиšий сонлар учун šуйидаги тœпламларни киритайлик: - сегмент, (ёпиš оралиš) - ярим очиš оралиš - ярим очиš оралиš - интервал (очиš оралиš) > Юšорида келтирилган тœпламлардан фарšли бошšа тœпламларни ќосил šилишда, тœпламлар устидаги киритилган амаллардан ташšари яна бир амал, тœпламларнинг декарт кœпайтмасини киритамиз. 7-Таъриф. А ва В тœпламларнинг декарт кœпайтмаси деб шундай тœпламга айтиладики, унинг элементлари тартибланган жуфтликлардан иборат бœлиб, бу жуфтликнинг биринчиси А тœпламдан, иккинчиси В тœпламдан олинган бœлади. Декарт кœпайтма АхВ шаклда ифода этилади, яъни . Шуни таъкидлаш лозимки, агар бœлса, бœлади. Худди шунга œхшаш та тœпламнинг декарт кœпайтмаси тœпламни аниšлашимиз мумкин: = 1, 2,.... n i i , 8- Таъриф. Фараз šилайлик - акслантириш дейилади, агарда (а,в) f ва (а,с) f эканлигидан тенглик келиб чиšса. (а,в) f эканлигини f (a)=в -кœринишида ќам ифода этиш мумкин. акслантиришнинг аниšланиш соќаси деб šуйидаги тœпламга айтилади: = акслантиришнинг œзгариш (šийматлар) соќаси - деб, šуйидаги тœпламга айтилади: Ушбу тœплам, f -акслантиришнинг œзгариши šийматлар соќаси деб юритилади. Агар f - акслантириш учун бœлса, у ќолда f A тœпламни B тœпламга акслантиради дейилади, бу ќолат f : A B кœринишда ифода этилади. Агар f:A B акслантириш учун бœлса, бундай акслантириш устига акслантириш дейилади. Агар f (а)=в ва f (c)=в тенгликлардан, тенглик келиб чиšса, - акслантириш œзаро бир šийматли акслантириш дейилади. Агар f : A B акслантириш œзаро бир šийматли устига акслантириш бœлса, бундай акслантириш эквивалентлик муносабати дейилади. Бу ќолда А ва В тœпламлар эквивалент ёки тенг šувватли тœпламлар дейилиб, ~ шаклда ифода этилади. 9- таъриф. Агар бœлса, у ќолда f - акслантириш f функция дейилади. (х,у) бœлганда, у=f (х) кœринишда ёзилиб, х- эркли œзгарувчи ёки аргумент, у - бођлиšли œзгарувчи ёки функция дейилади. Демак функция деганда, аниšланиш ва œзгариш соќалари сонли тœпламлардан иборат бœлган акслантиришга айтилар экан. Функцияга одатда šуйидагича таъриф ќам берилади: X ва Y ќаšиšай сонлар тœплами бœлсин. Агар Х тœпламдаги ќар бир х сонга бирор -šоида ёки šонунга кœра Y тœпламдаги битта у сон мос šœйилган бœлса, Х тœпламда функция берилган деб аталади ва каби белгиланади. Демак функция икки тœплам орасидаги мосликни ифодалайди. Бу ерда Х тœплам функциянинг аниšланиш соќаси, Y эса œзгариш соќаси дейилади. Бу таърифнинг юšоридаги 9- таърифга тенг кучли (эквивалент) эканлиги, тенгликдан бевоста келиб чиšади. Функциянинг берилиш усуллари турлича бœлиб, улар šуйидагилардан иборат: 1. Функция аналитик усулда, яъни у=f (х ) тенглик кœринишда, берилган дейилади, агар у-бођлиšли œзгарувчи билан х - эркли œзгарувчи орасидаги бођланиш формула орšали берилган бœлса. Масалан, 2 функцияни у=х2 яъни f (х)=х2 формула орšали бериш мумкин. 10-таъриф. Аналитик усулда берилган функциянинг аниšлаш сохаси деб, -х аргументнинг шундай šийматлар тœпламига га айтиладики, бунда ќар бир учун y нинг šиймати чекли ва ќаšиšий сон бœлиши лозим. чекли ва ќаšиšий}= {x: f (x) . Масалан, f(x)= функция учун бœлади, чунки x<0 бœлса - ќаšиšий сон бœлмайди ва х=0 бœлса чекли сон бœлмайди. Функциянинг жадвал кœринишда берилиши. Масалан, функция берилган бœлса, уни šуйидаги жадвал шаклида бериш мумкин.
3. Функциянинг график усулда берилиши. Бу ќолда тœплам текисликдаги, декарт координаталар системасида нуšталарни белгилаш натижасида ќосил бœлган тœплам шаклида берилади. Бу тœплам функция графиги дейилади. Масалан, 2 функцияни график усулда берсак, у šуйидагича бœлади: у
1 -1 0 1 х 4. Функцияни бирор šонун ёки šоида ёрдамида баён šилиш билан ифодалаш. Масалан, Дирихле функцияси деб номланувчи функция šуйидагича берилади: 11- Таъриф. - функция жуфт (тоš) функция дейилади, агарда барча учун тенглик œринли бœлса. Масалан, –жуфт функция, - тоš функция бœлади. Функция тоš ќам, жуфт ќам бœлмаслиги мумкин: Масалан , ; 12-Таъриф. -функция тœпламда чегараланган функция дейилади, агарда >0 бœлсаки учун тенгсизлик œринли бœлса. 13-Таъриф. Агар шундай мусбат Т сон мавжуд бœлсаки, учун бœлиб, тенглик œринли бœлса бундай функцияга даврий функция дейилади. Бундай сонларнинг энг кичиги функциянинг даври дейилади. Масалан, функцияси чегараланган, даври бœлган даврий функциядир, чунки исталган учун бœлиб, тенглик œринлидир. 14-Таъриф. функция тœпламда œсувчи (камаювчи) функция дейилади, агарда ва учун, тенгсизликдан тенгсизлик œринли эканлиги келиб чиšса. Агар таърифда бœлса, функция œсувчи (камаювчи) функция дейилади. Бундай функциялар монотон œсувчи (камаювчи) функциялар ќам дейилади. Масалан, функция интервалда œсувчи, интервалда эса камаювчи функциядир. функцияси œсувчи, функцияси эса камаювчи функция бœлади. 15-Таъриф. Натурал сонлар тœпламида аниšланган f функцияга сонлар кетма-кетлиги дейилади, яъни, . Агар деб белгилаш киритсак, сонлар кетма-кетлигини, ёки кœринишда ифода этиш ќам šабул šилинган. Бу ерда xn -кетма-кетликнинг n- ќади дейилади. Масалан, кетма-кетликни ёки кœринишларда ифода этиш мумкин. Бу кетма-кетлик монотон камаювчи, чегараланган кетма-кетлик бœлади, чунки агар учун n 16-Таъриф. Агар бирор f- šоида ва šонунга кœра тœпламнинг ќар бир элементига, B тœпламнинг аниš бир šиймати мос šœйилcа кœп œзгаpувчили (n-œзгарувчили) функция берилган дейилади. Масалан, икки œзгарувчили функция бœлади ёки šуйидаги функция = n œзгарувчили функцияга мисол бœлади. Элементар функциялар. Функцияларни классификациялаш. Асосий элементар функциялар деб šуйидаги функциялар гуруќига тегишли функцияларга айтилади. 1.Даражали функция: , Агар бœлса бœлади, агар бœлса . Агар , тоš бœлса функция-тоš функция бœлади, агар жуфт бœлса функция-жуфт функция бœлади. 2. Бутун ва каср рационал функциялар. функцияга бутун рационал функция (полином) кœпќад дейилади. Иккита бутун рационал функциянинг нисбатидан тузилган , функцияга каср рационал функция дейилади. Мисол, -бутун рационал функция, бунда , . -каср рационал функцияга мисол. 3.Кœрсаткичли функция: 4.Логарифмик функция: 5.Тригонометрик функциялар: а) даврий, даври га тенг , тоš функция. б) даврий, даври га тенг , , жуфт функция. в) даврий, даври га тенг, , тоš функция. г) даврий, даври га тенг тоš функция. 6. Тескари тригонометрик функциялар: а) тоš функция. б) в) тоš функция г) , 17- Таъриф. ва функциялар œзаро тескари функциялар дейилади, агарда бœлиб, исталган учун ва исталган учун тенгликлар œринли бœлса. Масалан, ва функциялар œзаро тескари бœлади, чунки ва тенгликлар œринлидир. Œзаро тескари функциялар графиклари OXY текислигида тœђри чизиђига нисбатан симметирик жойлашган бœлади. 18-Таъриф. Агар ва функциялар учун бœлса, у ќолда функция мураккаб функция (функциялар композицияси, функциянинг функцияси) дейилади. Масалан; ва учун мураккаб функция бœлади. 19-Таъриф. Асосий элементар функциялардан чекли сондаги алгебраик амаллар ва чекли сондаги мураккаб функция ќосил šилиш йœли билан кœрилган функциялар элементар функциялар дейилади. Масалан, Элементар функцияларни синфларга ажратиш, уларни алгебраик ва трансцендент (но алегбраик) функцияларга ажратиш орšали бажарилади. Алгебраик функция деб аргумент устида чекли марта алгебраик амалларни бажаришдан ќосил бœлган функцияга айтилади. Алгебраик функцияларга šуйидаги функциялар киради: бутун рационал функция (кœпќад, яъни полином); каср –рационал функция- иккита кœпќадлар нисбати; иррационал функция– яъни амаллар таркибида илдиздан чиšариш амали šатнашган функция. Ќар šандай ноалгебраик функция трансцендент функция дейилади. Трансцедент функцияларга кœрсаткичли, логарифмик, тригонометрик ва тескари тригонометрик функциялар киради. Функция графиги устида šуйидаги алмаштиришларни бажариш орšали янги функцияларни ќосил šилиш мумкин. функция графиги берилган бœлсин. 1. Вертикал кœчириш функциядан функцияни ќосил šилишни билдиради. b>0 бœлса графигини юšорига, b<0 бœлса šуйига параллел кœчириш керак. y=f(x)+b f(0)+b y=f(x) f(0) 2. Горизонтал кœчириш функциядан функцияни ќосил šилишни билдиради. a>0 бœлса графигини œнгга, а<0 бœлса чапга параллел кœчириш керак. Y y=f(x) y=f(x-a) 0 x0 x0+a X 3. Аралаш кœчириш функциядан функцияни ќосил šилишни билдиради. Y y=f(x) y=f(x-a)+b 0 X 4. а) ОХ œšига нисбатан симметрик кœчириш. функциядан функцияни ќосил šилишни билдиради. б) ОУ œšига нисбатан симметрик кœчириш. функциядан функцияни ќосил šилишни билдиради. Y Y y=f(x) y=f(x) y=f(-x) X X y=-f(x) 5. а) ОУ œšи бœйича коэффицентли чœзиш ёки сиšиш функциядан функцияни ќосил šилишни англатади. б) ОХ œšи бœйича коэффицентли чœзиш ёки сиšиш функцияни ќосил šилишни англатади. Y 2 1 0 X -1 -2
1
X -1
Y 1 Х -2 -3/2 - -1/2 0 /2 3/2 2 -1 Y
1 -2 -3/2 - -/2 0 /2 3/2 2 X -1 Иšтисодда учрайдиган функциялар. Иšтисодий назария ва амалиётда функция кенг šœлланилади. Иšтисодда учрайдиган функциялар турлари ранг барангдир, чизиšли функциядан тортиб то махсус функция деб номланувчи функцияларгача šœлланилади. Юšорида келтирилган элементар функциялар деб номланган функцияларнинг деярли барчаси иšтисодда šœлланилади. Иšтисодда тез-тез учрайдиган ва œзининг иšтисодий номига эга бœлган функциялар šаторига šуйидагиларни келтириш мумкин. 1. Фойдалилик функцияси. Бу функция фойдалиликни маълум бир факторлар таъсирига, бођлиšлигини аниšлайди. 2. Ишлаб чиšариш функцияси. Бу функция ишлаб чиšариш фаолияти натижасини, шу фаолиятнинг аниšловчи факторларга бођлиšлигини аниšлайди. 3. Маќсулот ќажми функцияси. Бу функция ишлаб чиšаришда маќсулот ќажмини ќом-ашё захираси ва истеъмолчига бођлиšлигини аниšлайди. 4. Сарф-харажат функцияси. Бу функция ишлаб чикаришда сарф –ќаражатларни маќсулот ќажми билан бођлиšлигини аниšлайди. 5. Талаб, истеъмол ва таклиф функциялари. Бу функциялар маќсулотга бœлган талаб, истеъмол ва таклиф ќажмларини турли факторларга (масалан, нарх-наво, даромад ва бошšа) бођлиšлигини аниšлайди. Маълум иšтисодий жараёнлар кœп факторлар таъсири натижасида юзага келгани учун юзага келадиган функциялар кœп œзгарувчили функциялар бœлади. Хулоса. Математика табиат ва жамиятдаги реал жараёнларнинг математик моделини œрганувчи фандир. Модел: реал ёки ќаёлий (идеал, абстракт) объектларнинг энг асосий хусусиятларини ифода šилувчи, унинг муќим параметрларини œзида мужассам šилган материал ёки идеал šурилма бœлиб, моделларнинг бир šанча турлари мавжуддир. Математик моделлаштириш идеал моделлар сирасига киради. У сонлар, символлар, функциялар, тенгламалар, тенгсизликлар, графиклар ва ќоказолар ёрдамида берилади ва œрганилаётган жараённинг асосий šонуниятларини очиш учун ќизмат šилади. Таянч иборалар. Математик модел, моделлаштириш. Макроиšтисодий моделлар, микроиšтисодий моделлар. Назарий моделлар, амалиёт моделлари. Мувозанат моделлари. Статик моделлар. Нотасодифий моделлар, тасодифий моделлар. Тœплам, тœпламлар устида амаллар, акслантириш, функция, аниšланиш сохаси, šийматлар сохаси, элементар функциялар, функция графиги, тоšлик, жуфтлик, даврийлик. Такролаш учун саволлар. Математика фани предмети. Моделнинг таърифи. Моделлаштириш. Моделнинг турлари. Математик модел. Иšтисодий объект (жараён) ларнинг математик моделлари ва уларга šœйиладиган талаблар. Моделлаштириш нима учун керак? Тœплам тушунчаси. Тœпламлар устида амаллар. Тœпламларни акслантириш. Функциянинг таърифи. Элементар функциялар. Иšтисодда функциядан фойдаланиш. Œзаро тескари функциялар. Асосий адабиётлар. 1.Т.Ж.Жœраев, Г.Худойберганов, А.К.Ворисов, Х.Мансуров «Олий математика асослари», I , II šисмлар., Т., 1999 й. 2.Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая математика для экономистов. 2-е изд., перераб. и доп. /Под ред. проф. Н. Ш. Кремера: Учебник. - М.: ЮНИТИ, 2004. – 471 с. 3.Замков О.О. и др. Математические методи в экономике :Учебник.- М.: Изд-во «Дело и сервис»,2004 .-368С. 4.Громенко В. В. Математическая экономика: Учебно-практическое пособие. - М.: МЕСИ, 2004. - 100. 5. А. Солодовников, А, А. Бабайцев, А.В. Браилов. «Математика в экономике» М. «Финансы и статистика» 1998 й., 219 б. Šœшимча адабиётлар. 1. Ё.У. Соатов. «Олий математика» ,1-жилд. Т. «Œšитувчи» 1992 й 2.О.И. Ведина, В.Н. Десницкая и др. - Математика. Математическая анализ для экономистов, -М.: 2001 3.А.Н. Колесников. Краткий курс математики для экономистов. -М.: ИНФРА-М, 2001. 4.Красс М.С. «Математика для экономических специальностей», М., 1998 й. 5. Г.М Фихтенгольц Основы математического анализа,- Санкт-Петербург, 2001. Интернет маълумотлари 1.http//images/yandeks/ru 2.www.ibz.ru Download 0.97 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|