1-mavzu. Ikkinchi va uchinchi tartibli determinantlar, ularning xossalari Ikkinchi tartibli determinant

4. Algebraik to’ldiruvchilar va minorlar. Navbatdagi xossalarni ta’riflash uchun minor va algebraik to’ldiruvchi tushunchalarini kiritamiz. Determinant biror elementni determinantdan bu element turgan satr va ustunni o’chirishdan hosil bo’lgan determinantga aytiladi. Soddalik uchun quyidagi uchinchi tartibli determinantni olamiz:
∆ =
Determinant aik elementining minori Mik (i,k=1,2,3) bilan belgilanadi.
Masalan, a11 elementining minori M11= son, a32 elementining minori esa M32 = son bo’ladi va x.k. Determinantning biror aik elementi turgan satr va ustun tartib raqamlarining yigindisi i+k juft yoki toq son bo’lishiga bog’liq ravishda bu element juft yoki toq joyda turibdi deb aytiladi. Masalan, a11 element deter-minantda juft joyni egallagan, chunki u birinchi satr va birinchi ustun kesishgan joyda turibdi, esa juft son. a32 element esa toq joyni egallagan, toq son va x.k. Determinant biror elementining algebraik to’ldiruvchisi deb uning bu determinantda juft yoki toq joy egallaganiga bogliq ravishda musbat yoki manfiy ishora bilan olingan minoriga aytiladi. aik elementining algebraik to’ldiruvchisi Aik bilan belgilanadi. Masalan, a11 elementining algebraik to’ldiruvchsi x M11= son bo’ladi, chunki a11 element juft joyda turibdi, a32 elementning algebraik to’ldiruvchisi son bo’ladi, chunki a32 element toq joyda va x.k.
Determinantning algebraik to’ldiruvchilarga bog’liq xossalari bilan tani-shishda davom etamiz.
Determinant biror qator elementlari bilan ularning algebraik to’ldi-ruvchilariga ko’paytmalari yigindisiga teng. SHunday qilib, ushbu tenglik o’rinli:
∆ = a11 A11+a12A12 +a13A13, ∆ = a21 A21+a22 A22+a23 A23,
∆ = a31 A31+a32A32 +a33A33, ∆ = a12 A12+a22A22 +a32A32,
∆ = a11 A11+a21A21 +a31A31, ∆ = a13 A13+a23A23 +a33A33, ₆
Determinantning (6) formulalarning biri bo’yicha yozilishi uning qator elementlari bo’yicha yoyilmasi deb ataladi. Bu tengliklarning birinchisini isbotlaymiz. Buning uchun (6) formulaning o’ng qismini ushbu ko’rinishda yozib olamiz:
∆ = (a11a22a33― a32a23a11)―(a12a21a33― a12a23a31)―(a21a32a13― a31a22a13).
Har bir qavsdan umumiy ko’paytuvchini chiqaramiz:
∆ = a11(a22a33― a32a23)― a12(a21a33―a23a31)― a13(a32a21― a31a22). (7)
Qavslarda turgan miqdorlar a11, a12, a13 elementlarning algebraik to’ldiruvchilaridir, ya’ni
a22a33― a32a23= =A11,
― (a21a33―a23a31) = ― = A12, (8)
a21a32― a31a22= = A13.
(7) formulani (8) formulani hisobga olgan xolda bunday yozamiz:
∆ = a11 A11+a12A12 +a13A13,
ana shuni isbotlash kerak edi.
3-misol. Ushbu determinantni hisoblang:
∆ =
Yechish. Bunda birinchi satrda nol bo’lganligi uchun birinchi satr elementlari bo’yicha yoyish formulasidan foydalanish qulaydir. Quyidagini topamiz:
∆ = =
Determinant biror qatorining bitta elementidan tashqari barcha elementlari nolga teng bo’lganda determinantning bu qator elementlari bo’yicha yoyilmasi ayniqsa sodda ko’rinishda bo’ladi. Bunga esa 3) xossadan foydalanib erishish mumkin.
4-misol. Ushbu determinantni hisoblang:
∆ = .
Yechish. Determinantning qiymatini o’zgartirmasdan uni shunday almashtiramizki, uning biror qatorining bitta elementidan boshqa hamma elementlari nolga teng bo’lsin. Buning uchun 1-qator bilan shug’ullanamiz. Ikkinchi ustunga birinchi ustunning 3 ga ko’paytirilganini, uchinchi ustunga esa birinchi ustunning ga ko’paytirilganini qo’shamiz. SHu almashtirishlardan so’ng quyidagini hosil qilamiz:

Ikkita nolni o’z ichiga olgan qator elementlari bo’yicha yoyib ushbuni topamiz

So’nggi xossaga o’tamiz.
k) Determinantning biror qatori elementlarini parallel qator mos elementlarining algebraik to’ldiruvchilariga ko’paytmalari yigindisi nolga teng. Masalan,
a11 A21+a12A22 +a13A23=
ekanligini isbotlaymiz. Haqiqatan ham,

ana shuni isbotlash talab qilingan edi.