1-Mavzu. Kirish. Analitik geometriya fani haqida qisqacha ma’lumot

<9>
Pedagogik masalalar:

• 
  Fanning masalalari va uning o’quv fanlar sistemasidagi o’rni va roli bilan tanishtirish;
  
• 
  O’quv fanning tuzulmasi va tavsiya etiladigan o’quv-metodik adabiyotlarni tasvirlash;
  
• 
  Fan sohasida metodik va tashkiliy xususiyatlarini ochib berish, baholash shakli va muddatlari;
  
• 
  Fan ma'ruzasi paytida o’qitish jarayonini tashkil qilishning umumiy bosqichlarini xarakterlab berish va umumiy sxemasini tushuntirish.
  
• 
  O’qitish texnologiyasi rivojlanishi perspektivasini xarakterlab berish;
  

O’quv faoliyati natijalari:

• 
  Fan ma'ruzasi masalalari, maqsadlari va nomlari shakillanadi;
  
• 
  Matematik fizika tenglamalari doirasidagi yutuqlar yoritiladi;
  
• 
  Fan sohasida metodik va tashkiliy xususiyatlari hamda baholash shakli va muddatlari aytiladi
  
• 
  Fan ma'ruzasida o’qitish jarayonini tashkil qilishning umumiy sxemasini kengaytirib xatakterlab beradi;
  
• 
  Fanning asosiy ta'riflarini beradi, Matematik fizika tenglamalari fani ma'ruzalarining asosiy yo’nalishlari beriladi;
  
• 
  Amaliy mag’ulotlarni bajarishda o’rganilgan iboralarbilan ishlay olishligi;
  
• 
  1.2. Ma'ruzaning xronologik xaritasi
  
• 
  1 bosqich. O'quv mashg'ulotiga kirish (10 daqiqa):
  
• 
  О 'qitavchining faoliyati: tayyorgarlikni tekshirish (davomat, konspektning borligi; o’ziga ishonch, aniqligi,); kerakli materiallarni tarqatish (konspekt, tarqatma materiallar); ma'ruzaning mavzusi va maqsadini bayon qilish; o’quv mashg’ulotning rajasi bilan tanishtirish; kalit iboralar va so’zlar, kategoriyalar; internet saytlari va adabiyotlar ro’yhati; o’quv natijalari haqida aytish;
  
• 
  Talabalar faoliyati: o’quv joyini tayyorlash (talabalar borligi; tashqi ko’rinish; o’quv materiallar va qo’llanmalar); ma'ruzaning mavzusi va maqsadi bilan tanishish; o’quv materialini qabul qilishga tayyorgarlik ko’rish;
  
• 
  Shakillar, usular, ushiblar: instruktaj; frontal so’rov; mustahkamlovchi so’rov.
  

2. 
   bosqich. Asosiy qism (60 daqiqa):
   

• 
  О 'qitavchining faoliyati: mavzuga kiritadi; yangi mavzuga doir o’tgan fanlar va mashg’ulotlarning mavzularini eslashga chorlaydi; ma'ruza matnini tarqatadi, tanishishni taklif etadi, “Insert” usuli bilan belgilar qo’yishni taklif etadi; birinchi savol bo’yicha matn o’qiladi; qo’shimcha o’quv materiallarini aytib boorish va tushuncha berish; natural obektlarni namnoyon qilish va izohlash; tushunarsiz savollarni aniqlash va tushintirish; birinchi savol bo’yicha nazar (shunday qilib qolgan savollarga ham);
  
• 
  Talabalar faoliyati: yangi mavzuda doir oldingi mashg’ulotlarda va fanlarda olgan bilimlarni mustahkamlaydi,; har bir kalit ibora va terminlarni eshitib, yozib borib, konspekt qilib aytib borishadi; “Insert” usuli bilan belgilan o’qiydilar, aniqlik kiritadilar, savollar beradilar va o’zaro;
  
• 
  Shakillar, usular, ushiblar: frontav so’rov blits-so’rov; aqliy hujum, “Insert” texnikasi.
  

2. 
   bosqich. Yakunlovchi qisim (10 daqiqa)
   

• 
  О'qitavchining faoliyati: mnavzu bo’yicha hulosa qilish, talabalarning e tiborlarini asosiylarda jalb qilish; qilingan ishning muhimligini aytib o’tish; alohida talabalarning bajarilgan ishlarini baholash; o’zaro baholashning natijalarini chiqarish; o’quv mashg’ulotning yutuqlik darajasini baholash va tahlil qilish; mustaqil ish uchun topshiriqlar; baho ko’rsatgichlari va me'zonlari;
  
• 
  Talabalar faoliyati: ishning tahlili; natijalarni olish; texnologik bilimlarni qo’llash; o’zaro baholashni o’tkazish, yo’l qo’yilgan hatolar bo’yicha tahlil va aniqlik kiritish; mustaqil ish topshiriqlarini yozib olish;
  
• 
  Shakillar, usular, ushiblar: guruhlarda ishlash, kartochkalarda topshiriqlar.
  

3. 
   
   Ma' ruza rejasi:
   
   1.
   
   2.
   
   3.
   
   4.
   
   Kalit so’zlar:
   
   sistemalar
   O’quv-metodik materiallar
   

Vektorning skaliyar ko’paytmasi.

Vektorning vektor ko’paytmasi.

Vektorlarning aralash ko’paytmasi.

Chap va o’ng sistemalar.

Vektor, skalyar ko’patma, vektor ko’paytma, aralash ko’paytma, chap va o’ng

1. 
   Ma'ruza matni
   

Bizga biror a va b vektorlar berilgan bo’lsin. Biz bu mavzuda avvalo bu vektorlarning skaliyar ko’paytmasi bilan tanishib chiqamiz.

Ikki vektorning skalyar ko’paytmasi deb, shu vektorlar uzunliklari bilan ular orasidagi ф burchak kosinusining ko’paytmasiga teng bo’lgan songa aytiladi, ya’ni

ab=\a\-\b\-cos (p. (6.1)

np_ab = l&l COS (p va np_ba = |a|cos
a-b=\a\pr_ab=\b[ pr(6.2) Ikki vektor ortogonalligi (perpendikularligi)ning etarli va zaruriy sharti shu vektorlar skalyar ko’paytmasining nolga tengligidir. Ikki a va v nolmas vektorlar agar ularning skalyar ko’paytmasi musbat (manfiy) bo’lsa, o’tkir (o’tmas) burchak tashkil etadi.

Vektorlarning skalyar ko’paytmasi quyidagi to’rtta xossaga ega:

1. 
   ab = ba (o’rin almashtirish yoki kommutativlik);
   
2. 
   (aa)b=a(ab) (sonli ko’paytmaga nisbatan guruhlash yoki bir jinslilik);
   
3. 
   (а + b)c = ac + be (taqsimot xossasi yoki assotsiativlik);
   
4. 
   aa = a²>0, agar a - nolmas vektor bo’lsa; а²=0, agar a - nol vektor bo’lsa.
   

Bu xossalarni (6.1) va (6.2) formulalar yordamida osongina isbotlash mumkin. Agar a va b vektorlar to’g’ri burchakli dekart koordinatalari a= z_x}, h= {x₂; y₂\ z₂} bilan aniqlangan

bo’lsa, ularning skalyar ko’paytmasi mos koordinatalari ko’paytmalarining yig’indisiga teng bo’ladi, ya’ni

a-b=XiX2+yiy2+ZlZ2. (6.3)

Bu formulani isbotlashda i, j, к bazis vektorlarning juft-juft ortogonalligi va birlik uzunlikka ega ekanligi, ya’ni

ii= 1, ./'/=0, ki=0, {‘/=0, //= 1, kj=0, ik=0,jk=0, kk= 1

larni hisobga olish etarli.

a={xi,yi,zi} va b={x2,y2,Z2} vektorlar ortogonalligining etarli va zaruriy sharti quyidagi tenglikdir:

[clb] = axb--= {y,z2 - у2zi; zxx2 - z2x}; x,y2 - x2y,} = x, yx z, . (6.7) 20

X, y1 z, 21

x = p cos

x = psin0cos

aAj + /M2 = ~yA ■> °A + PA + yA = 0, 100

/ 222/222 V^х1 ⁺ У1 ^{+ Z}1 " \^X2 ⁺ У 2 ^{+ Z}2

Misol. Agar a =(1,-3,4), b =(3,-4,2) va ~c =(-1,1,4) bo’lsa, a vektorning b + с vektorga proektsiyasini hisoblang.

Echish: Yuqoridagi 2.10 formuladan foydalanamiz:

„ _ d(b +c)

ⁿP_h,^a= \r

a(b + c) va b+c ifodalarni hisoblaymiz.

a(b + c) = 1(3 -1) - 3(-4 +1) + 4(2 + 4) = 35 [ft +c| _{= >}/(3-l)² + (-4 + l)²+(2 + 4)² =7

Bundan Пр_ь a = 5

4. 
   ta’rif. Agar а, b, с nokomplanar vektorlarning boshlari umumiy nuqtaga keltirilganda с vektor a va b vektorlar bilan aniqlangan tekislikka nisbatan shunday tomonda bo’lsa, u tomondan qaraganda a dan b gacha qisqa buralish soat strelkasiga qarama-qarshi (soat strelkasi bo’ylab) yo’nalgan bo’lsa, а, b, с nokomplanar vektorlar о 'ng (chap) deyiladi,
   

а vektorni b vektorga vektorial ко 'paytmasi deb, c=axb yoki c=[a,b] belgi bilan belgilanuvchi va quyidagi uch shartni qanoatlantiruvchi с vektorga aytiladi:

1. 
   с vektorning uzunligi а va b vektorlar uzunliklari bilan ular orasidagi ф burchak sinusining ko’paytmasiga teng, ya’ni:
   

И=1М] 1=141*1 •sincp; (6.6)

2. 
   с vektor a va b vektorlarning har biriga ortogonal;
   
3. 
   с vektor yo’nalishi shundayki, a, b vektorlar o’ng bo’ladi.
   

6. 
   dan ko’rinib turibdiki, с vektor uzunligining kattaligi a va b vektorlarga qurilgan parallelogramning yuziga teng.
   

Ikki vektorning kollinarlik sharti ular vektorial ko’paytmasining nolga tengligidir.

Vektorlarning vektorial ko’paytmasi quyidagi to’rtta xossaga ega:

1. 
   [а,b\ = — [6,а]- antikommutativlik;
   
2. 
   [(аа), 6]=а[а,6] -birjinslilik;
   
3. 
   [(a+b),c]= [а,с]+[6,с] - assotsiativlik;
   
4. 
   Ixtiyoriy а vektor uchun [а,а]=0 .
   

Bu xossalar osongina isbotlanadi.

Agar ikki a va b vektor o’zlarining to’g’ri burchakli dekart koordinatalari a={xj; уй z/} va b={x₂; yj; zj} bilan aniqlangan bo’lsa, bu vektorlarning vektorial ko’paytmasi quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

i j к

[clb] = axb--= {y,z₂ - у₂zi; z_xx₂ - z₂x_}; x,y₂ - x₂y,} = x, y_x z, . (6.7)

•^2 У 2 ^2

1. 
   j, к bazis vektorlarning o’zaro ortogonalligi, o’ng uchlik tashkil qilishi va birlik uzunlikka ega ekanligi, ya’ni
   

[/,/]=0, [ij]=k, [i, k]= -j, [j,i\=-k, \j,j]=0, [/, k]=i, [k, /]=/',

[k,j]= -i, [k, k]=0.

larni hisobga olib, (6.7) formulani osongina isbotlash mumkin.

Ixtiyoriy a, b, с vektorlar berilgan bo’lsin. Agar a vektorni b vektorga vektorial ko’paytirish natijasida hosil bo’lgan [a,b] vektor с vektorga skalyar ko’paytirilsa, a,b va с vektorlarning aralash ко ’paytmasi deb atalgan [а, b]c son hosil bo’ladi.

[a,b]c aralash ko’paytma, agar berilgan a, b va с uchlik o’ng bo’lsa, musbat ishora bilan, aks holda, manfiy ishora bilan, boshlari umumiy nuqtaga keltirilgan a, b va с vektorlarga qurilgan parallelpipedning hajmiga teng. Ko’rinib turibdiki, agar a, b, с komplanar bo’lsa, ularning aralash ko’paytmasi nolga teng. Osongina ko’rinib turibdiki, [а,6]с = а[6,с], chunki har ikki son kattaligi bo’yicha bir xil parallelepipedning hajmiga teng va ikkala uchlik bir xil yo’nalishli, ya’ni ikkalasi ham o’ng, yoki chap bo’lsa.

Shuning uchun a, b va с vektorlarning aralash ko’paytmasi aynan qaysi ikkita vektor vektorial ko’paytirilayotganligi (birinchi ikkitasi yoki oxirgi ikkitasi) ko’rsatilmasdan oddiy abc ko’rinishda yoziladi.

Uchta vektor komplanarligining etarli va zaruriy sharti ularning aralash ko’paytmasi nolga tengligidir.

Agar а, b va с vektorlar o’zlarining to’g’ri burchakli dekart koordinatalari a = {xj; уй г/}, b = {x₂; у2: zj), с = {x_;; y₃; Z3} bilan aniqlangan bo’lsa, ularning aralash ko’paytmasi abc satrlari mos ravishda ko’paytirilayotgan vektorlarning koordinatalari (komponentalari) dan iborat determinantga teng, ya’ni

. ^ ²

Haqiqatan, [a, ^b\={yi^z2 — y₂z_l',z_lx₂ — z₂x_l',z_ly₂ — z₂y^ va s={x_;; >4; z₃} ekanligidan (6.8) formulaga asosan [a,b] va с vektorlarning [я, b]c skalyar ko’paytmasi

(6.8)

У 2

abc-
X, y₁ z,

[a,b\c = abc = х_ъ(y_xz₂ - y₂z_x) + у_ъ(z_xx₂ - z₂x_x) + z₃( x_xy₂ - x₂y_x)

ga teng, lekin bu (6.8) ning o’zi. Demak, a = {xj; уй г/}, Ъ = {x₂; у2: zj), с = {x?; y₃; z₃) vektorlarning

= 0.
komplanarligining etarli va zaruriy sharti quyidagicha:

	JCj	У1	^Z1
	x2	У 2	-2
	x3	•Уз	-3
Misol. B(5,1,0) nuqtaga qo’yilgan F =			a-

va shu kuchning A(3,2,-l) nuqtaga nisbatan momentini toping.

Echish: Kuch vektorining yo’naltiruvchi kosinuslarini topamiz.





F, 1

COS r = -p£| = —j=

|F| S
F 1 F_v I

cosa=_rf|=-_r^ cos p=T^r = —7=

И л/з ^И \F\ S

[abf\

= ~j~k

m =

Kuch momenti AB = (2,-1, 1) va F vektorlarning vektor ko’paytmasi kabi aniqlanadi.

j k

1

1. 
   -1 1 -1
   

ya’ni m = (0,—1, — 1).

Agar b vektorni с vektorga vektorial ko’paytirish natijasida hosil bo’lgan vektor a vektorga yana vektorial ko’paytrilsa, hosil bo’lgan [а, [b,c]] vektor ikki karrali vektorial ko’paytma deyiladi. Ixtiyoriy а, b va с vektorlar uchun quyidagi formula o’rinli:

[a, [b, c]]=b(ac)-c(ab). (6.9)

Bu formulani isbot qilish uchun to’g’ri burchakli dekart koordinatalar sistemasini quyidagicha tanlab olamiz: bu vektorlar boshlarini umumiy nuqtaga - koordinatalar boshi О ga keltirilganda Oz o’q с vektor bo’ylab yo’nalgan, Oy o’q esa b va с vektorlar bilan aniqlangan tekislikda joylashgan bo’lsin. U holda, ko’rinib turibdiki, a,b,c quyidagi koordinatalarga ega bo’ladi: a = {xj; уй zj}, b = {o; y₂; z₂), с = {о; о; z₃}. (6.7) formulaga asosan [b,c]={y2Z₃;o;o',} va xuddi shu formuladan [а,[Л,<:•]]={o;zlyizj^’/yizs} tenglikka ega bo’lamiz. Boshqa tarafdan, ko’rinib turibdiki, ас = г/г_;, ab = yiyj+zjzj, shuning uchun b(ac)={o;y2Ziz₃; zjziz₃}, c(ab)={o;o;y₁y2Z₃+z₁Z2Z₃}. Bu tengliklarni solishtirib, (6.9) tenglikni osongina hosil qilamiz.

2. 
   a. Frontal so’rov uchun savollar
   

4. 
   Vektor deb nimaga aytiladi?
   
5. 
   Vektorlarni qanday ko’paytmalarini bilasiz?
   
6. 
   Chap va o’ng sistemalar nima?
   

2. 
   6. Blits-so’rov uchun savollar
   

9. 
   Koordinatalari bilan berilgan vektorlarning skalyar ko’paytmasini qanday hisoblash mumkin va u simmetriklik xossasiga egami?
   
10. 
    Ikki vektorning vektor ko’paytmasi va u qanday xossalarga ega?
    
11. 
    Vektorlarni aralash ko’paytmasi?
    

2. 
   в. Og’zaki so’rov uchun savollar
   

12. 
    Vektor uzunligi?
    
13. 
    Skalyar ko’paytma?
    
14. 
    Ikki vektorning vektor ko’paytmasi?
    
15. 
    Vektor ko’paytmaning xossalari?
    
16. 
    Vektorlaning aralash ko’paytmasi?
    

3. 
   Mustaqil ish uchun topshiriqlar
   

•