1. Oddiy differensial tenglamalar nazariyasining asosiy tushunchalari. Reja

Ta’rif: Ushbu
(2)
ko‘rinishdagi tenglama hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli oddiy differensial tenglama deyiladi.
Ta’rif: Bitta o‘zgarmas songa bog‘liq
y= (x,S) (3)

1. 
   tenglamaning yechimlari oilasini ifodalovchi funksiya tenglamaning umumiy yechimi deyiladi .
   

Ta’rif: Agar

munosabatlardan c parametrni yo‘qotish mumkin bo‘lib, natijada (2)
tenglama hosil bo‘lsa, u holda (3) funksiya (2) tenglamaning umumiy yechimi deyiladi.
Ta’rif: Umumiy (3) yechimdan S parametrni aniq sonli qiymatlari uchun hosil bo‘lgan yechimi xususiy yechim deb ataladi.
Yuqorida keltirilgan 1 va 2 masalalardagi (t_0, x₀), (t₀,R₀) nuqtalardan o‘tuvchi yechimlarni yagonaligi muhim ahamiyatga ega, shuning uchun berilgan (t₀ ,x ₀) nuqtadan bitta yechim o‘tsa shu nuqtada yagonalik o‘rinli deb yuritiladi.
Ta’rif: Yagonalik o‘rinli bo‘lmagan yechim maxsus yechim deyiladi.

Misol. Tenglamani yeching

Bu yerda y0 deb olib yoki
tenglikka ega bo‘lamiz. Bundan yoki umumiy yechimga ega bo‘lamiz.
Bundan tashqari y0 ham tenglamaning yechimi, bu maxsus yechim bo‘ladi.
y=0 ni , yaoni OX o‘qini ixtiyoriy nuqtasidan

yarim parabolar o‘tadi.
Differensial tenglamalar nazariyasining asosiy masalalardan biri Koshi masalasi deb yuritiladi.
(4)
ko‘rinishidagi tenglama uchun Koshi masalasi quyidagicha qo‘yiladi.
Koshi masalasi : (1) tenglamaning
y(x₀)=y₀ (5)
shartni qanoatlantiradigan yechimini topish masalasi Koshi masalasi deyiladi yoki boshlang‘ich masala deb yuritiladi.
Bunda x₀ va y₀ berilgan sonlar bo‘lib f(x,y) funksiya aniqlangan sohaga tegishli bo‘ladi. (4) tenglamaning yechimi bo‘lgan y=(x) yoki oshkormas ko‘rinishda (x,y) funksiyani mos egri chizig‘i (grafigi) integral chiziq deb ataladi. Koshi masalasi, geometrik nuqtaiy-nazardan qaraganda barcha integral chiziqlar ichidan berilgan (x₀,y₀) nuqtadan o‘tuvchi integral chiziqni topish masalasidir.
Misol. Koshi masalasining yechimi mavjudmi?

ko‘rish mumkinki bu Koshi masalasini yechimi mavjud emas.
Demak, Koshi masalasi har doim ham yechimiga ega emas, agar yechim mavjud bo‘lsa u yagona bo‘ladimi? kabi savol berilishi tabiiy. Yechimining yagonaligi differensial tenglamalar olingan jarayonlarda biror qonun mavjud bo‘lib boshqa qonun yo‘qligini, xarakat yoki jarayon faqat shu qonun orqali amalga oshishini bildiradi.
Yuqorida qo‘yilgan savolga quyidagi Pikar teoremasi javob beradi.
Teorema. (Pikar teoremasi) Agar (4) tenglamada f(x,y) funksiya

1. 
   D={(x,y): x₀-axx₀+a, y₀-byy₀+b} to‘g‘ri to‘rtburchakda uzluksiz, (demak unda chegaralangan, ya’ni
   

|f(x,y)|  M, M>0 , (6)
2 . u o‘zgaruvchi bo‘yicha Lipshis shartini qanoatlantirsa, u holda (4)
tenglamani (5) shartini qanoatlantiradigan va

intervalda aniqlangan yagona yechimi mavjud.
Teoremada keltirilgan Lipshis sharti D sohada aniqlangan ikki o‘zgaruvchili f(x,y) funksiya uchun quyidagicha bo‘ladi. Ixtiyoriy (x,y₁), (x,y₂)D nuqtalar uchun ushbu
(7)
tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, f(x,y) D sohada u bo‘yicha Lipshis shartini qanoatlantiradi deyiladi.
L – Lipshis o‘zgarmasi.
Eslatma. Teoremadagi Lipshis shartini bajarilishini talab qilish o‘rniga f(x,y) funksiyadan u bo‘yicha hosilani uzluksizligini talab qilish mumkin.
Ya’ni
.
Endi Pikar teoremasini isbot qilishga o‘tamiz. Buning uchun avva-lo quyidagi ikkita lemmani keltiramiz.
Lemma 1. (ekvivalentlik lemmasi)
Agar y=(x) funksiya x₀ nuqtani o‘z ichiga olgan biror J intervalda aniqlangan bo‘lib (4), (5), Koshi masalasining yechimi bo‘lsa, u holda y=(x) funksiya J intervalda
(8)
integral tenglamaning yechimi bo‘ladi va aksincha, agar y=(x) funksiya (8) tenglamaning yechimi bo‘lsa, u holda y=(x) funksiya (4), (5), Koshi masalasini yechimi bo‘ladi.
Isbot. y=(x) funksiya (1) tenglamaning yechimi bo‘lganligi uchun

ayniyat o‘rinli bo‘ladi. Bu ayniyatni x₀ dan x gacha integrallaymiz (x₀,xJ)

(5) shartdan foydalansak,
.
Bu tenglikdan ko‘rinadiki, y=(x) funksiya (8) tenglamaning yechimi.
Endi teskarisiga isbotlaymiz, y=(x) funksiya (8) ning yechimi bo‘lsa, (x) ni (8)ga qo‘yamiz va undan hosila olamiz.

Demak, bu tenglik y=(x) funksiya (4) tenglamaning yechimi ekanligini ko‘rsatadi. Lemma isbot bo‘ldi.