1. O‘rtacha miqdor turlari. Oddiy arifmetik o‘rtacha. Tortilgan arifmetik o‘rtacha

Mavzu: Tarkibiy o'rtachalarning qo'llanilishi va hisoblash tartibi
Reja:
1. O‘rtacha miqdor turlari.
2. Oddiy arifmetik o‘rtacha.
3. Tortilgan arifmetik o‘rtacha.

O‘rtacha miqdor turlari ularni hisoblash tartibi Statistikada o‘rtacha miqdorlarning xilma-xil turlari va shakllari mavjud. Chunonchi, agregat (nozohir shaklli) o‘rtacha, o‘rtacha arifmetik, o‘rtacha geometrik, o‘rtacha garmonik o‘rtacha kvadratik, o‘rtacha kubik, o‘rtacha xronologik va h.k. shular jumlasidandir. Bular bilan bir qatorda taqsimot qatorlarida o‘rtachaga o‘xshash funksiyani bajaruvchi o‘rta miqdorlar (varianta qiymatlari) ham bor. Bular moda, mediana va turli kvantililardan tarkib topadi. Ular qatorning tartibli yoki davriy o‘rta hadlari (miqdorlari) deb ataladi.

O‘rtacha miqdorlarning u yoki bu turi va shaklini qo‘llash tekshirishda ko‘zlangan maqsad va vazifalarga o‘rganilayotgan jarayon va hodisa xususiyatlariga hamda muayyan sharoitda qo‘limizda bo‘lgan ma’lumotlar xarakteriga bog‘liq.
Arifmetik o‘rtacha miqdorlar
Arifmetik o‘rtacha deb shunday ilmiy qoidaga asoslangan o‘rtachaga u bilan belgining ayrim qiymatlarini almashtirilsa, ularning umumiy yig‘indisi o‘zgarmasligi va to‘plam birliklari soniga nisbatan proporsional taqsimlanishi zarur.
Arifmetik o‘rtacha miqdor o‘rtachalarning eng sodda va amaliyotda juda keng qo‘llanadigan turidir. U o‘rganilayotgan belgi to‘plam birliklarida ega bo‘ladigan ayrim miqdoriy qiymatlarini qo‘shishdan olinadigan umumiy hosilaga (yig‘indiga) hamda birliklar soniga asoslanadi. Agarda o‘rtacha arifmetik miqdorni variatsion qator nuqtai nazaridan qarasak u qator variantasining shunday o‘rtacha qiymatiki, uni hisoblashda variantalar qiymatlarining umumiy yig‘indisi o‘zgarmas miqdor deb qaraladi va variantlar soniga nisbatan proporsional taqsimlangan deb talqin etiladi. Shu sababli o‘rtacha arifmetik miqdorning taqsimot qatoridagi o‘rni ayrim varianta qiymatlari undan teng ikki yoqlama tafovutda bo‘lishi bilan belgilanadi.
O‘rtacha arifmetik miqdor oddiy va tortilgan shakllarga ega.
O'rtacha qiymat - bu hodisaning tipik darajasini tavsiflovchi umumlashtiruvchi ko'rsatkichdir. Bu aholi birligiga to'g'ri keladigan xususiyat qiymatini ifodalaydi.
O'rtacha har doim belgining miqdoriy o'zgarishini umumlashtiradi ya'ni. o'rtacha qiymatlarda tasodifiy holatlar tufayli populyatsiya birliklarining individual farqlari o'chiriladi. O'rtachadan farqli o'laroq, populyatsiyaning alohida birligining belgisi darajasini tavsiflovchi mutlaq qiymat turli populyatsiyalarga tegishli birliklarda belgi qiymatlarini solishtirishga imkon bermaydi. Demak, agar ikkita korxona ishchilarining ish haqi darajasini solishtirish zarur bo'lsa, unda bu asosda turli korxonalarning ikkita ishchisini solishtirish mumkin emas. Taqqoslash uchun tanlangan ishchilarning ish haqi ushbu korxonalar uchun xos bo'lmasligi mumkin. Agar ko'rib chiqilayotgan korxonalarda ish haqi fondlari hajmini solishtiradigan bo'lsak, unda xodimlar soni hisobga olinmaydi va shuning uchun ish haqi darajasi qayerda yuqori ekanligini aniqlash mumkin emas. Oxir-oqibat, faqat o'rtacha ko'rsatkichlarni solishtirish mumkin sonli-va- ya'ni. har bir korxonada bir ishchi o'rtacha qancha oladi. Shunday qilib, aholining umumlashtiruvchi xarakteristikasi sifatida o'rtachani hisoblash kerak bo'ladi. O'rtachani hisoblash umumiy umumlashtirish usullaridan biridir o'rtacha o'rganilayotgan aholining barcha birliklari uchun tipik (tipik) bo'lgan umumiy narsani inkor etadi, shu bilan birga u alohida birliklarning farqlarini e'tiborsiz qoldiradi. Har bir hodisa va uning rivojlanishida tasodif va zarurat uyg'unligi mavjud. O'rtachalarni hisoblashda katta sonlar qonunining ta'siri tufayli, imkoniyatlar bekor qilinadi va muvozanatlanadi, shuning uchun hodisaning ahamiyatsiz xususiyatlaridan, har bir aniq holatda atributning miqdoriy qiymatlaridan mavhum bo'lish mumkin. Agregatlarning umumlashtiruvchi xarakteristikalari sifatida individual qiymatlarning tasodifiyligidan, tebranishlardan va yolg'ondan o'rtachalarning ilmiy qiymatini mavhumlash qobiliyati.
O'rtacha ko'rsatkichni chinakam tiplashtirish uchun uni ma'lum tamoyillar asosida hisoblash kerak.
Keling, o'rtacha qiymatlardan foydalanishning ba'zi umumiy tamoyillariga to'xtalib o'tamiz.
1. Sifat jihatidan bir hil birliklardan tashkil topgan populyatsiyalar uchun o'rtachani aniqlash kerak.
2. O'rtacha ko'rsatkichni etarli darajada ko'p sonli birliklardan tashkil topgan populyatsiya uchun hisoblash kerak.
3. O'rtacha birliklari normal tabiiy holatda bo'lgan aholi uchun hisoblanishi kerak.
4. O'rtacha o'rganilayotgan ko'rsatkichning iqtisodiy mazmunini hisobga olgan holda hisoblanishi kerak.
O'rtacha ko'rsatkichlar turlari va ularni hisoblash usullari Keling, o'rtacha ko'rsatkichlarning turlarini, ularni hisoblash xususiyatlari va qo'llanilishini ko'rib chiqaylik. O'rtachalar ikkita katta sinfga bo'linadi: quvvat o'rtachalari, tizimli o'rtachalar.
TO kuch degani geometrik o'rtacha, arifmetik o'rtacha va ildiz o'rtacha kvadrat kabi eng mashhur va tez-tez ishlatiladigan turlarni o'z ichiga oladi.
Sifatda tizimli o'rtacha ko'rsatkichlar moda va median hisobga olinadi.
Keling, o'rtacha quvvatlar haqida to'xtalib o'tamiz. Quvvatning o'rtacha ko'rsatkichlari, dastlabki ma'lumotlarning taqdimotiga qarab, oddiy va vaznli bo'lishi mumkin. Oddiy o'rtacha guruhlanmagan ma'lumotlar asosida hisoblanadi va quyidagi umumiy shaklga ega:
bu erda X i - o'rtachalashtirilgan xususiyatning variantlari (qiymati);
n - variantlar soni.
O'rtacha vaznli guruhlangan ma’lumotlardan hisoblanadi va umumiy shaklga ega. bu erda X i - o'rtacha olingan xususiyatning varianti (qiymati) yoki variant o'lchanadigan intervalning o'rta qiymati;
m - o'rtacha daraja ko'rsatkichi;
f i - o'rtachalashtirilgan xususiyatning i-e qiymati necha marta sodir bo'lishini ko'rsatadigan chastota.
Misol tariqasida 20 kishilik guruhdagi o‘quvchilarning o‘rtacha yoshini hisoblashni keltiramiz:
O'rtacha yosh oddiy o'rtacha formula yordamida hisoblanadi:
Keling, asl ma'lumotlarni guruhlashtiramiz. Biz quyidagi tarqatish seriyasini olamiz:
Guruhlashtirish natijasida biz yangi ko'rsatkich - X yoshdagi o'quvchilar sonini ko'rsatadigan chastotani olamiz. Shunday qilib, guruh talabalarining o'rtacha yoshi o'rtacha vaznli formuladan foydalanib hisoblanadi:
O'rtacha quvvatni hisoblash uchun umumiy formulalar eksponentga (m) ega. Qaysi qiymatga qarab, o'rtacha quvvatning quyidagi turlari ajratiladi:
o'rtacha harmonik;
geometrik o'rtacha, agar m -> 0 bo'lsa;
arifmetik o'rtacha, agar m = 1 bo'lsa;
ildiz-o'rtacha kvadrat, agar m = 2 bo'lsa;
o'rtacha kub, agar m = 3 bo'lsa.
Quvvat qonuni formulalari jadvalda keltirilgan. 4.4.
Agar biz bir xil dastlabki ma'lumotlar uchun barcha turdagi o'rtacha qiymatlarni hisoblasak, ularning qiymatlari teng bo'lmaydi. Bu erda o'rtacha kattalik qoidasi qo'llaniladi: m ko'rsatkichining oshishi bilan mos keladigan o'rtacha qiymat ham ortadi:
Statistik amaliyotda o'rtacha og'irlikning boshqa turlariga qaraganda tez-tez o'rtacha arifmetik va garmonik vaznli o'rtacha ko'rsatkichlar qo'llaniladi.