1. O‘zgaruvchan massali jismning harakati O`zgaruvchan massali jism harakati qonunining soddalashtirilgan natijasi

Mavzu: O‘zgaruvchan massali jismning harakati (reaktiv harakat).

Reja:
1. O‘zgaruvchan massali jismning harakati
2. O`zgaruvchan massali jism harakati qonunining
soddalashtirilgan natijasi
O`zgaruvchan massali jismlar harakati.
Mexanikani o`rganishda fizikaning saqlanish qonunlari deb ataluvchi eng muhim qonunlarini o`rganamiz. Bular energiyaning saqlanish qonuni, impulsning saqlanish qonuni. Ilgarilanma mexanikaviy harakat ikki o`lchovga: mϑ impuls va energiyaga ega ekanligi to`g`risidagi faktlar Dekart bilan Leybnislar orasida, bu kattaliklardan qaysi biri harakat o`lchovi hisoblanishi to`g`risidagi tarixiy tortishuvga olib keldi. Energiyaning saqlanish va bir turdan ikkinchi turga aylanish qonuni ochilmaguncha bu tortishuv hal bo`lmas edi. Mexanikaviy energiyaning boshqa turdagi energiyaga aylanish qonuni analiz qilingandan so`ng, bu tortishuvni F.Engels o`zining “Tabiat dialektikasi” nomli kitobida yorqin yozgan edi.
“Shunday qilib, -deb yozgan edi F.Engels, -haqiqatdan ham mexanikaviy harakat ikki xil o`lchamga ega ekanligini ko`rdik... Agar mavjud mexanikaviy harakat shunday ko`chirilsa-ki, bunda u mexanikaviy harakat sifatida saqlansa, u holda bu harakat massani tezlikka ko`paytmasi formulasiga muvofiq uzatiladi. Agar bu harakat shunday uzatilsa-ki, bunda u potensial energiya, issiqlik, elektr va hokazolar shaklida qayta namoyon bo`lib, mexanik harakat sifatida yo`qolsa yoki bir so`z bilan aytganda, bu harakat qandaydir boshqa formadagi harakat miqdori dastlabki harakatlanayotgan massa va tezlik kvadratiga ko`paytmasiga proporsional. Umuman aytganda, -mexanikaviy harakatning o`zi bilan o`lchanadigan mexanikaviy harakatdir; ma’lum miqdordagi boshqa harakat formasiga aylanish xususiyati bilan o`lchanadigan mexanikaviy harakatdir.
Aylanma harakat uchun mexanikaviy harakat o`lchovi, mexanikaviy harakatning o`zi bilan o`lchanadigan jismning impuls momenti hisoblanadi.
Mexanikada impuls, impuls momenti va energiyadan tashqari saqlanuvchi kattalik jismning massasidir.
Ma’lumki, massa-jismning inertlik o`lchovidir. Boshqa saqlanish qonunlari bilan keyinroq tanishamiz.
Saqlanish qonunlari tabiatning eng umumiy qonunlariga taalluqli. Suyuqlik va gazlar uchungina haqiqiy bo`lgan Paskal qonunidan, qo`llanilish sohasi chegaralangan Om qonunidan va boshqa shunga o`xshash qonunlardan tashqari energiya, impuls va impuls momentining saqlanish qonunlari hozirgi kunda ma’lum bo`lgan barcha fizikaviy protsesslarda bajariladi.
Energiya impuls va impuls momentining saqlanish qonunlarini dinamika qonunlarining davomi sifatida hosil qildik. Biroq, bu qonunlar Nyuton dinamikasi qonunlarini qo`llab bo`lmaydigan vaqtda ham bajariladi.
Masalan, yorug`lik tezligiga yaqin tezlik bilan harakatlanganda Nyuton qonunlari buziladi. Biroq bu holda ham saqlanish qonuni bajariladi. Nyuton qonunlarini atom ichidagi zarralar harakatini bayon qilish uchun ham qo`llab bo`lmaydi, biroq saqlanish qonuni atom ichidagi protsesslarda ham to`griligicha qoladi.
Fizikaning asosiy kursida dinamika qonunlarini o`rganishda o`zgarmas kuch ta’siri ostida bo`lgan m massali jismning harakat qonunini topishni o`rgandindingiz. Jismga kattaligi va yo`nalishi vaqt o`tishi bilan o`zgaruvchi kuch ta’sir etgan holda mexanikaning to`g`ri masalalarini taqribiy yechish usullaridan biri bilan siz ushbu kitobdagi 18-§ da va 5-laboratoriya ishini bajarishda tanishgansiz. Endi uchinchi mumkin bo`lgan holni-o`zgaruvchan massali jismning harakatini qarab chiqamiz. Masalan, raketaning harakat tezligini va koordinatasini aniqlashda xuddi shunday masalani yechishda to`g`ri keladi. O`zgaruvchan massali jismlarning harakati to`g`risidagi masalani implsning saqlanish qonunini qo`llash asosida yechish mumkin ekan.
O`zgaruvchan massali jismlar harakatining qonunini birinchi marta Peterburg universitetining professori I.V.Mishcherskiy va taniqli rus olimi K.E.Sialkovskiylar tekshirganlar.
1897-yilda I.V.Mishcherskiyning “O`zgaruvchan massali nuqtaning dinamikasi” nomli monografiyasi chop etildi. Bunda o`zgaruvchan massali jismlar harakatining asosiy tenglamasi keltirib chiqarilgan.
O`zgaruvchan massali jism harakati qonunining soddalashtirilgan natijasini quyidagicha keltirish mumkin. Faraz qilaylik, Yerdan va boshqa osmon jismlaridan yetarlicha uzoqlikda massasi yonilg`isi bilan birga bo`lgan raketa turgan bo`lsin. Agar barcha osmon jismlarining raketaga ta’siri hisobga olinmasa, u holda “raketa-yonilg`i” jismlar sistemasi berk hisoblanadi.
Klassik mexanikada, harqanday moddiy nuqtaning yoki sistema zarrachalarining massalari harakat mobaynida o’zgarmas deb hisoblanadi. Lekin, ayrim hollarda sistemani yoki jismni tashkil etuvchi qismlarining massalari [bazibir qism (massa)larni sistemaga tashqaridan qo’shilishi yoki undan olib tashlanishi hisobiga] o’zgaruvchan bo’lishi mumkin; natijada sistemaning umumiy massasi o’zgaruvchan bo’ladi.

Shunga o’xshagan, ya’ni sistemaga massalarni qo’shilishi yoki undan olib tashlanishiga oid masalalarni ilgari ham ko’rib o’tgan edik (masalan, 126, 127 va dagi 86 masalalarga qarang). Bu paragrafda, amaliy muhim masala, ya’ni zarrachalarni jismga muntazam ravishda qo’shilib yoki undan ayrilib turishiga oid bo’lgan masalalarni ko’rib o’tamiz. Massasi M bo’lgan jismga moddiy zarrachalarning vaqt mobaynidagi muntazam ravishda qo’shilib yoki undan ayrilib turish hisobiga o’zgarishi, massasi o’zgaruvchan jism deb ataladi. O’zgaruvchan massali jism uchun: M=F(t), bo’ladi. Bu erdagi F(t)- vaqtning uzluksiz funktsiyasi.

Agar bunday jism faqat ilgarilanma harakatda bo’lsa (yoki aylanma harakati e’tiborga olinmasa), bunday jismni massasi o’zgaruvchan moddiy nuqta deb hisoblash mumkin.
294 shakl.
Raketaning harakati. Vaqt mobaynida massasi muntazam ravishda kamayib boruvchi jismning harakatini, amaliy muhim bo’lgan raketaning harakati misolida ko’rib o’tamiz va uni massasi o’zgaruvchan moddiy nuqta deb hisoblaymiz. YOnuvchi ma’sulotlarning raketadan chiqarib yuborilishdagi nisbiy (raketa korpusiga nisbatan) tezligini -bilan belgilaymiz. YOnuvchi ma’sulotlarni raketaga ko’rsatadigan bosim kuchlarini tenglamadan chiqarib yuborish uchun, uni ichki kuchga aylantirish lozim bo’ladi. Buning uchun, ixtiyoriy t -vaqtda raketani va undan dt vaqt oralig’ida chiqarib yuborilayotgan yonilg’i ma’sulotlarining zarrachalarini yagona sistema deb hisoblaymiz (294 shakl), dt- vaqt ichida, raketadan chiqarib yuborilgan  -ga teng bo’lgan massani dM bilan belgilaymiz. M kamayuvchi massa bo’lganligi sababli, dM<0 bo’ladi, va =dM=-dM.

Ushbu sistema uchun (20) tenglamani quyidagi ko’rinishda yozishimiz mumkin: d=dt, (24) bu yerda - raketaga qo’yilgan tashqi kuchlarning geometrik yig’indisi.

Agar raketaning tezligi-, dt vaqt ichida d -qiymatga o’zgarsa, u holda ko’rilayotgan sistemaning harakat miqdori, Md elementar orttirma oladi. Zarrachaning t -vaqtdagi (zarracha hali raketadan ajralgan emas) harakat miqdori  -bo’ladi, va tHdt vaqtdagi harakat miqdori  (+) bo’ladi, chunki zarracha qo’shimcha -tezlik oladi. Demak, dt vaqt ichida zarrachaning harakat miqdori =-dM (=-dM) qiymatga o’zgaradi. Butun sistemaning harakat miqdori esa d=Md-dM ga o’zgaradi. Ushbu qiymatni (24) tenglamaga qo’ysak va tenglamani ikkala tomonini dt ga bo’lib yuborsak: M=+ (25) tenglama, o’zgaruvchan massali nuqta harakatining differentsial tenglamasi, yoki Meshcherskiy tenglamasining vektor ko’rinishi deb ataladi.

Ushbu tenglamadagi oxirgi yig’indining o’lchov birligi kuchdan iborat bo’lganligi uchun, uni harfi bilan belgilasak, (25) tenglamaning boshqacha ko’rinishini yozamiz: M=+ (26) . Shunday qilib, reaktivlik effekti shundan iborat ekanki, raketaning harakatida unga qo’shimcha ravishda, reaktivlik kuchi deb ataluvchi -kuchi ta’sir etar ekan.

dM/dt -ning son qiymati, vaqt birligi ichida sarflangan yoqilg’ining massasiga teng bo’ladi, ya’ni yonilg’i massasining sekundlik sarfi G_c ga teng bo’ladi.

Shunday qilib, ishoralarni e’tiborga olgan holda yozsak: =- G_c, Bundan,=-G_c (27) bo’ladi, ya’ni reaktivlik kuchi, yoqilg’i massasining sekundlik sarfini, yoqilg’i ma’sulotlarining nisbiy tezligiga bo’lgan ko’paytmasiga teng ekan, va shu nisbiy tezlikka qarama-qarshi yo’nalgan bo’lar ekan.

O’zgaruvchan massali jism harakatining boshqacha ayrim ko’rinishlari. Agar, massasi M -ga teng bo’lgan jism, unga muntazam ravishda tashqaridan kelib qo’shiladigan moddiy zarrachalar hisobiga, uning massasi ortib (dM/dt>0) borsa, unday jismni ham massasi o’zgaruvchan jism deb hisoblanadi. Unga tashqaridan kelib qo’shilayotgan moddiy zarrachalarning nisbiy tezligini avvalgidek -harfi bilan belgilasak, uning harakati ham (25) va (26) tenglamalar orqali yoziladi, lekin dM/dt>0 bo’lganligi uchun, (27) formula teskari ishora oladi, ya’ni: =G_c, va nihoyat, sistemaga muntazam ravishda tashqaridan moddiy zarrachalar kelib qo’shilib tursa, va undan ham moddiy zarrachalar ajralib chiqib tursa, (26) tenglamaning ko’rinishi quyidagicha bo’ladi: =-₁G_1s+₂G_2s bu erdagi, ₁ va₂-lar ayrilayotgan va qo’shilayotgan moddiy zarrachalarning tegishlicha nisbiy tezliklari; G_1s va G_2s-lar esa har sekunddagi ajralayotgan va qo’shilayotgan zarrachalarning massalari.
Bunday sistemaga, atmosferadan havoni so’rib olib yoqilg’i ma’sulotlari bilan aralashtirib, so’ngra ularni birgalikda yondirish natijasida harakatga teskari tomonga otib yuboruvchi havo-reaktiv dvigateli o’rnatilgan samolyot misol bo’lishi mumkin. Tashqariga otib yuborilayotgan yoqilg’i ma’sulotlarining ulushi juda kichkina (2 -3 % dan oshmaydi) bo’lgani uchun, amalda G_1s= G_2s= G_s deb qabul qilinadi. Undan tashqari, qo’shilayotgan havo massasining nisbiy tezligi ₂=- bo’ladi, bu erdagi -samolyotning tezligi. U holda, ₁= deb hisoblab, -kuchining vektori va uning moduli uchun quyidagi ifodani yozamiz: = -G_s(+), F= G_s(u-v)
Reaktivlik kuchining modulini aniqlashda, -(samolyotning) tezligini va (otib yuborilayotgan havoning) -tezligini o’zaro qarama-qarshi yo’nalishda olinadi.
Yuqoridagi formula, suvni so’rib va qayta chiqarib yuboruvchi gidro reaktiv dvigatellar uchun ham o’rinli hisoblanadi.
Ts i o l k o v s k i y f o r m u l a s i. Tashqi kuchlarning bosh vektori =0 deb, hamda otib yuborilayotgan moddiy zarrachalarniing nisbiy tezligi -ni o’zgarmas deb hisoblab, raketaning faqat reaktivlik kuchi ta’siridagi harakatini ko’rib chiqamiz. Harakatning yo’nalishi bo’yicha x koordinata o’qini yo’naltiramiz (294 shakl). U holda v_xhv, u_xh-u bo’ladi, va =0 ekanligini e’tiborga olsak, (25) tenglamaning x o’qidagi proektsiyasi, quyidagi ko’rinishda bo’ladi: M=-u yoki dV=-u
Boshlang’ich holatdagi massa M=M₀, va tezlik =₀ bo’lib, u Ox o’qi bo’ylab yo’nalgan ekanligini e’tiborga olgan holda, yuqoridagi tenglamani integrallasak: v=v₀+uln(M₀/M) (28)

Raketaning korpusini uning ichidagi jihozlar bilan birgalikdagi massasini M_k-bilan, va jami yoqilg’ining massasini M_yo -bilan belgilaylik. U holda, M₀ =M_k+ M_yo bo’ladi, va jami yoqilg’i yonib tamom bo’lgandagi raketaning massasi M_k -ga teng bo’ladi. Ushbu qiymatlarni (28) ga qo’ysak, jami yoqilg’i yonib tamom bo’lgandagi (aktiv uchastkaning oxiridagi tezlik deb ataluvchi)raketaning tezligini ifodalovchi Tsiolkovskiy formulasini keltirib chiqamiz: v=v₀+uln(1+M_yo/M_k) (28)

Ushbu natija tortilish kuchi maydonidan tashqaridagi havosiz fazodagi harakat uchun o’rinli hisoblanadi. (28) formuladan ko’rinib turibdiki, raketaning chegaraviy tezligi: 1) uning boshlang’ich tezligi v₀; 2) yongan gazlarni raketaning soplosidan chiqib ketishidagi nisbiy tezligi u-ga; 3) yonilg’ining nisbiy zapasi M_yo/M_k (Tsiolkovskiy soniga)-ga bog’liq bo’lar ekan. Eng ajoyib fakt shundan iboratki, yonilg’ining eng so’nggi yonish davridagi raketa dvigatelining ishlash rejimi, ya’ni yonilg’ining qanchalik tez yoki sekin yonishi, raketaning tezligiga ta’sir ko’rsatmas ekan.

Tsiolkovskiy formulasining eng muhim ahamiyati shundan iboratki, kosmik parvozlar uchun kerak bo’ladigan katta tezliklarni qanday yo’llar bilan olish usullarini ko’rsatib beradi. Bular, M_yo/M_k , u va v₀ -larni oshirishdan iborat bo’lib, uning eng effektiv yo’li u va v₀ -larni oshirish hisoblanadi. M_yo/M_k va u-ni oshirish uchun, raketaning konstruktsiyasini yaxshilash va yonilg’ining sifatini oshirish talab etiladi. Suyuq yoqilg’idan foydalanish evaziga nisbiy tezlikni u=30004500 m/s ga etkazish mumkin bo’ladi.

Lekin, bir pog’onali raketalar uchun M_yo/M_k -ning qiymati, kosmik parvoz uchun etarli darajadagi tezlikni bera olmaydi (§98 ga qarang). Kosmik parvoz uchun etarli darajadagi tezliklarni olish uchun, qo’shma (ko’p pog’onali) raketalardan foydalaniladi, va har bir pog’ona uning ichidagi yoqilg’i yonib tamom bo’lishi bilan, avtomatik ravishda raketadan ajratib tashlanadi. Natijada, har bir keyingi pog’ona uchun, oldingi pog’onadan olingan tezlik (boshlang’ich) qo’shimcha tezlik bo’lib xizmat qiladi.

Shu kabi, ko’p pog’onali raketa yordamida erning birinchi sun’iy yo’ldoshlari (1957 yil, 3 oktyabrda va 4 noyabrda) uchirilgan edi. Undan keyingi ko’plab uchirilgan boshqa kosmik obhektlar va shu qatorda kosmonavtlar joylashgan kosmik kemalar ham, ko’p pog’onali raketalar yordamida osmonga ko’tarilgan.