1. расчет показателей надежности невосстанавливаемых нерезервированных систем

2. РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ РЕЗЕРВИРОВАННЫХ СИСТЕМ

В резервированной системе отказ какого-либо элемента не обязательно приводит к отказу всей системы. Типичным случаем является логически параллельное соединение элементов, при котором система отказывает тогда, когда отказывают все ее элементы. Такой тип резервирования называют постоянным или нагруженным m-кратным резервированием. В этом случае все элементы выполняют одну и ту же функцию, работают одновременно и равнонадежны. По теореме умножения вероятностей имеют место следующие выражения:

где q(t), p(t) – соответственно вероятности отказа и безотказной работы одного элемента.

Если для элементов справедлив экспоненциальный закон распределения надежности, то:


.

Для высоконадежных систем, у которых t0,1 и , имеем:

_.

Среднее время наработки до отказа резервированной системы:

,

где - среднее время наработки до отказа основной системы или любой из резервных систем.

Кроме m-кратного резервирования (m целое число) используют также резервирование с дробной кратностью, которое называют логическим соединением «k из n». Это означает, что система работоспособна, если работоспособны не менее k элементов. На рис.2.2(б) приведена структурная схема «k из n» с кратностью резервирования m = .
Вероятность безотказной работы системы с последовательно-параллельной структурой, изображенной на рис.2.1(а) наиболее удобно выразить постепенным упрощением ее схемы.



Рис. 2.1. Этапы последовательного упрощения последовательно-параллельной структуры

Заменим сначала параллельные подсистемы 2 и 3 новой подсистемой 23 (рис.2.1(б)). Тогда вероятность безотказной работы новой подсистемы:

Теперь заменим последовательные подсистемы 1 и 23 новой подсистемой 123 (рис.2.1(в)). Тогда вероятность безотказной работы этой подсистемы:

.

Далее заменим последовательные подсистемы 4 и 5 одной подсистемой 45 с вероятностью безотказной работы:

Наконец, заменив параллельные подсистемы 123 и 45 новой подсистемой 12345 (рис.2.1(г)) получим вероятность безотказной работы этой подсистемы:

что соответствует вероятности безотказной работы системы.

Часто не требуется знать точное значение вероятности безотказной работы, а достаточно только оценить эту величину снизу и сверху. Тогда можно применить приближенный метод минимальных путей и сечений.
Нижняя граница надежности Pн(t) определяется как вероятность безотказной работы гипотетической последовательно-параллельной системы, составленной из последовательно включенных групп элементов, соответствующих всем минимальным сечениям, а верхняя граница Pв(t) – системы из параллельно включенных групп элементов, соответствующих всем минимальным путям. Таким образом:

где n, m – число путей и сечений системы; P(Ai), P(Bj) – соответственно вероятности событий Ai и Вj.

Задача 2.1.
Дана резервированная система с постоянным резервом кратности m=2. Элементы системы имеют постоянную интенсивность отказа λ=0,05 час-1. Найти показатели надёжности системы: вероятность безотказной работы, плотность распределения времени до отказа, интенсивность отказа, среднее время безотказной работы.
Решение:
Воспользуемся формулами

Получим:

Табулируя функции, найдём искомые показатели надёжности, представленные в таблице 1

Таблица 1 Показатели надёжности резервированной системы с постоянно включённым резервом и кратностью резервирования m=2

t,час	Pc(t)	fc(t)	λс(t)
0	1	0	0
5	0,9892	0,005716	0,005778
10	0,9390	0,014085	0,014999
15	0,8531	0,019726	0,023122
20	0,7474	0,022049	0,029501
25	0,6367	0,021878	0,034357
30	0,5311	0,020200	0,038031
35	0,4359	0,017794	0,040814
40	0,3535	0,015177	0,042930
45	0,2840	0,012653	0,044546
50	0,2265	0,010374	0,045784

Среднее время безотказной работы системы будет равно:

Задача 2.2.

Требуется определить кратность резервирования системы с постоянным резервом, обеспечивающим вероятность безотказной работы 0,96 в течение времени t=150 час. Элементы системы равнонадёжны и имеют экспоненциальное распределение со средним временем безотказной работы Т=300 час. Найти также кратность резервирования для системы, элементы которой имеют распределение Рэлея с тем же средним.
Решение.
Кратность резервирования может быть определена по формуле:


,

где P(t) – вероятность безотказной работы элемента в течение времени t; Pc(t) = 0,96 – вероятность безотказной работы системы в течение времени t.

-для экспоненциального распределения


,

где λ1=1/Т – интенсивность отказа элемента.

-для распределения Рэлея


,

где – параметр распределения

В течение времени t = 150 час получим:
-для экспоненциального закона:

-для закона Рэлея:

Подставляя значения P1(t) и P2(t) в формулу для кратности резервирования m, получим:

-для экспоненциального распределения:

-для распределения Рэлея:

Округляя до целых чисел в большую сторону, получим m1 = 3, m2 = 1. Таким образом, для достижения заданной надёжности в первом случае потребуется 3 резервных элемента, а во втором случае – только один.

Задача 2.3. надежность резервированный готовность исправность
Вероятность безотказной работы серверного оборудования после 1000 часов составляет 0,95. Второй, аналогичный комплект, включается в работу после отказа основного. Рассчитать Тср и Р(t) для моментов времени 250, 500 и 1000 часов для варианта с резервированием и без резервирования.
Решение:
Определим значение интенсивности отказа комплекта:

Определим значение средней наработки до отказа комплекта при отсутствии резервирования:

Из условия задачи следует, что основной сервер резервируется однотипным сервером по схеме с дублированием замещением. Для определения средней наработки до отказа системы с данным способом резервирования воспользуемся выражением:

Для определения вероятности безотказной работы основного сервера без резервирования воспользуемся выражением:


;
;

Для определения вероятности безотказной работы серверного оборудования с дублированием замещением воспользуемся выражением:

;
;
.

Как видно из расчетов, вероятность безотказной работы серверного оборудования с резервированием, даже после отработки 1000 часов, не снижается ниже 0,99.

Задача 2.4.
Система состоит из 10 равнонадежных элементов с основным соединением. Для каждого элемента Тср=1000 часов.
Определить Тср всей системы для трех вариантов – а) без резервирования; б) нагруженное дублирование; в) дублирование замещением.
Решение:
Определим значение результирующей интенсивности отказов ветви, состоящей из 10 элементов воспользовавшись выражением:

,

где λi и Тсрi - интенсивность отказов и средняя наработка до отказа i-го элемента.

Определим среднюю наработку системы до отказа.
– для системы без резервирования по выражению:


;

– для системы с нагруженным дублированием среднюю наработку до отказа определим с помощью формулы:

,

где m – число резервных ветвей, в данном случае m=1.

– для системы с дублированием замещением среднюю наработку до отказа определим по выражению: .