1. Sanlı izbe-izlik dep natural sanlar toplaminda anıqlanǵan hám haqıyqıy bahalar qabıl etiwshi

MATEMATIK TAHLIL

2.1. Ketma-ketlik limiti

1. Sanlı izbe-izlik dep natural sanlar toplaminda anıqlanǵan hám haqıyqıy bahalar qabıl etiwshi f : N⇒R funksiyaǵa aytıladı. Eger f (n) = x_n dep belgilesek, sanlı izbe-izlik degende natural sanlar menen nomerlengen tómendegi haqıyqıy sanlar kompleksin túsiniw múmkin:

x₁, x₂, ..., x_n, ... (2.1.1)
Biz (2. 1. 1) sanlı izbe-izlikti qısqa etip {x_n} arqalı belgileymiz. Ádetde formal qatańlıq tárepdarları bul izbe-izlikti {x_n}^∞_n=1 kóriniste, yamasa, oǵan teń kúshli bolǵan, , x_m ^∞_m=1, x_k ^∞_k=1, ..., simvollar járdeminde belgilewdi ábzal kóriwedi. Lekin biz onı, álbette, eger bunda qáte túsiniwlerge jol qoyılmasa, joqarıdaǵı
kóriniste belgileymiz. Bunda xn sannı izbe-izliktiń n-elementi yo'ki hadi dep ataymız.

Endigiden, nomer degende biz natural sannı túsinemiz. Bunnan tısqarı, bul bapta sanlı ketme-ketlikti biz kóbinese qısqalaw etip izbe-izlik dep ataymız.

Sanlı izbe-izlikler ushın tábiy arifmetik ámellerdi anıqlaw múmkin.

Izbe-izliktiń eń tiykarǵı ózgesheligi - bul onı limitining bar ekenligi bolıp tabıladı. Limit degende sonday haqıyqıy san túsinilediki, oǵan izbe-izliktiń hadlari, olardıń nomeri asqan tárepke, qálegenshe jaqınlasadı. Basqasha aytqanda, qálegen (qálegenshe kishi bolǵan ) oń (ádetde bul sannı ε, yaǵnıy epsilon dep atalmish grekshe hárip menen belgilesedi) san ushın izbe-izliktiń qandayda bir nomeri (ε ga baylanıslı
bolǵan hám ádetde N arqalı belgilenetuǵın ) den baslap barlıq hadlari limitdan sol oń sanǵa parq qilsin. Sonday etip biz tómendegi tariypga kelamiz.

Tariyp. Qálegen ε > 0 alınǵanda da sonday N = N (ε) nomer tapilsaki, barlıq n ≥ N lar ushın

|x_n − a| < ε (2.1.2)
Teńsizlik atqarılsa, a san {x_n} izbe-izliktiń limiti dep ataladı.

Eger x_n izbe-izlik a limitga iye bolsa, ádetde.

lim x_n = a
n→∞

dep jazıwadı, yamasa, geyde,

dep da jazıwadı.

n → ∞ da x_n → a

Limitga iye bolǵan izbe-izlikler jaqınlashuvchi dep ataladı.
Geyde, izbe-izlik limitining tariypi, sanlar o'qidagi noqatlar átirapı túsiniklerinen paydalanıp da kiritiledi.
Tariyp. Sanlar o'qidagi x0 noqattıń átirapı dep sol noqattı óz ishine alıwshı
qálegen ashıq intervalǵa aytıladı.

Eger bul interval (x₀ − ε, x₀ + ε) kóriniske iye bolıp, bunda ε > 0 bolsa, bul interval x₀ noqattıń ε átirapı dep ataladı. Bul túsinikten paydalanıp limitning tariypini taǵı tómendegishe de beriw múmkin:

{ }
agar istalgan ε > 0 uchun ketma-kerlikning N = N (ε) nomerdan boshlab barcha elementlari a nuqtaning ε atrofida joylashsa, a son x_n ketma-ketlikning limiti deyiladi.

{ }
Boshqacha aytganda, agar istalgan ε > 0 uchun a nuqtaning ε atrofidan tashqarida x_n ketma-ketlikning oshib borsa chekli sondagi hadlari joylashsa, a son bu ketma- ketlikning limiti deb ataladi.

{ }
Yaqinlashuvchi eng sodda ketma-ketlik bu statsionar ketma-ketlikdir, ya'ni shunday x_n ketma-ketlikki, uning barcha elementlari bitta songa teng: x_n = c. Misol sifatida quyidagi ketma-ketlikni olsa bo'ladi: