1. Sanlı izbe-izlik dep natural sanlar toplaminda anıqlanǵan hám haqıyqıy bahalar qabıl etiwshi

Q.E.D.

2. 
   
   { } { }
   - Teorema. Ikki yaqinlashuvchi x_n va y_n ketma-ketliklar ko'paytmasi yana yaqinlashuvchi bo'lib, ko'paytma limiti limitlar ko'paytmasiga teng bo'ladi:
   

lim (x_n · y_n) = lim x_n · lim y_n. (2.1.17)

n→∞
n→∞
n→∞

→ →
Isbot. Faraz qilamiz, x_n a va y_n b bo'lsin. U holda, 2.1.7 - Tasdiqqa asosan, (2.1.15) va (2.1.16) tengliklar o'rinli bo'ladi. Bu ikki tengliklarni o'zaro ko'paytirib, oldingi band natijalarini hisobga olsak,
x_n · y_n = (a + α_n)(b + β_n) = ab + a · β_n + b · α_n + α_n · β_n = ab + γ_n
bo'ladi, bu yerda {γ_n} - cheksiz kichik ketma-ketlik.

{ · }
O'rnatilgan tenglik, 2.1.7 - Tasdiqqa ko'ra, x_n y_n ketma-ketlik ab songa
yaqinlashishini anglatadi.

Q.E.D.

Natija. {x_n} va {y_n} ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo'lsin. U holda, ixtiyoriy

λ va µ haqiqiy sonlar uchun {λx_n + µy_n} ketma-ketlik ham yaqinlashuvchi bo'lib,
lim (λx_n + µy_n) = λ lim x_n + µ lim y_n

n→∞
tenglik o'rinli bo'ladi.
n→∞
n→∞

Bu xossaga limitga o'tish amalining chiziqliligi deyiladi.
Xususan, λ = 1 va µ = −1 bo'lganda oxirgi tenglikdan
lim (x_n − y_n) = lim x_n − lim y_n (2.1.18)

munosabatni olamiz.
n→∞
n→∞
n→∞

3. 
   Ikki yaqinlashuvchi ketma-ketliklar nisbatini o'rganishga o'tamiz. Bunda maxrajda turgan ketma-ketlikning barcha hadlari va uning limiti noldan farqli bo'lishi zarur.
   

2.1.1 - Lemma. Berilgan {y_n} ketma-ketlik b /= 0 songa yaqinlashsin. U holda, shunday N nomer topiladiki, barcha n ≥ N lar uchun

2
tengsizlik bajariladi.
|y_n
| ≥ ^|b| > 0 (2.1.19)

Isbot. Limit ta'rifiga ko'ra, istalgan ε > 0 olganda ham shunday N = N (ε)
nomer topiladiki, u uchun
|y_n − b| < ε, n ≥ N (ε)
tengsizlik bajariladi.
Bundan
|y_n| = |b + y_n − b| ≥ |b| − |y_n − b| > |b| − ε, n ≥ N

kelib chiqadi. Bu tengsizlikda ε = ^|b|

2

desak, talab qilingan (2.1.19) tengsizlikni

olamiz.

Q.E.D.

Eslatma. Isbotlangan lemma, xususan, noldan farqli limitga ega bo'lgan ketma- ketlik faqat chekli sondagi nolga teng hadlarga ega bo'lishi mumkinligini anglatadi.
Endi ikki ketma-ketlik nisbatining limiti haqidagi teoremani isbotlashimiz mumkin.

2.1.3 - Teorema. Faraz qilaylik, {x_n} ketma-ketlik a songa v a {y_n } ketma-ketlik

x_n

n
esa b /= 0 songa yaqinlashsin. U holda biror nomerdan boshlab _y

a

ketma-ketlik

aniqlangan bo'lib, u
songa yaqinlashadi.

b

→ →
Isbot. Shartga ko'ra, x_n a va y_n b bo'lsin. U holda 2.1.7 - Tasdiqqa asosan, (2.1.15) va (2.1.16) tengliklar bajariladi. Shunday ekan, 2.1.1 - Lemmaga asosan biror nomerdan boshlab quyidagi tengliklarni yozishimiz mumkin:
x_{n −} a ₌ bx_n − ay_{n =} b(a + α_n) − a(b + β_n) _.

y_n b

by_n
by_n

−
Agar biz bu tenglikda γ_n = α_n (a/b)β_n deb belgilasak, γ_n - cheksiz kichik ketma-ketlik bo'lib,

n

n
x_n a 1

tenglik o'rinli bo'ladi.
_y − _b = γ_n · _y
, (2.1.21)

1. 
   
   { }
   - Lemmaga ko'ra 1/y_n ketma-ketlik chegaralangan, shuning uchun 2.1.4
   

- Tasdiqdan (2.1.21) ning o'ng qismi cheksiz kichik ketma-ketlik ekanligi kelib chiqadi. Demak,

lim

x_{n =} a_.

^n→∞ y_n b

Q.E.D.

Shunday qilib, 2.1.3 - Teoremaga asosan, nisbatning limiti limitlar nisbatiga teng ekan.

Shubhasiz, agar y_n ketma-ketlikning barcha elementlari noldan farqli bo'lsa,
^xn ketma-ketlik barcha n larda aniqlangan bo'ladi.

y_n

Shunga ahamiyat berish joizki, agar biz ketma-ketlikning istalgan chekli sondagi elementlarini o'zgartirsak, uning yaqinlashish xossasi ham va limiti ham o'zgarmaydi. Xususan, agar ketma-ketlikning chekli sondagi elementlari nolga teng bo'lsayu, biz ularni, masalan, birlar bilan almashtirsak, biz nolga teng bo'lmagan elementlardan iborat yangi ketma-ketlik olamiz va eski bilan yangi ketma-ketliklar bir vaqtda yoki yaqinlashuvchi, yoki uzoqlashuvchi bo'ladilar. Bundan tashqari, bordiyu ular yaqinlashsa, ularning limitlari teng bo'ladi.

4. 
   Ushbu bandda biz tengsizliklarda limitga o'tishni o'rganamiz.
   

2. 
   
   { } ≥
   
   ≥
   - Lemma. Agar x_n ketma-ketlik a songa yaqinlashib, x_n 0 bo'lsa, u holda a 0 bo'ladi.
   

≥ →
Isbot. Shartga ko'ra x_n 0 va x_n a bo'lsin. Demak, limit ta'rifiga asosan, istalgan ε > 0 uchun shunday N nomer topiladiki,
|x_n − a| < ε, n ≥ N
bo'ladi.
1.3.2 - Tasdiqdan bu tengsizlikning quyidagi qo'shaloq tengsizlikka ekvivalent ekanligini olamiz:
−ε < x_n − a < ε. (2.1.22)
Shunday ekan, x_n ≥ 0 shartdan va (2.1.22) ning o'ng tarafidagi tengsizlikdan,
ε + a > x_n ≥ 0, ya'ni ε + a > 0
bahoni hosil qilamiz, bundan chiqdi, istalgan musbat ε uchun
a > −ε (2.1.23)
tengsizlik o'rinli bo'lar ekan.

Oxirgi tengsizlik a son har qanday manfiy sondan katta ekanini anglatadi va shuning uchun u manfiy bo'la olmaydi. Demak, a ≥ 0.

Q.E.D.

4. 
   - Teorema(tengsizliklarda limitga o'tish haqida). Agar ikki yaqinlashuvchi
   

{x_n} va {y_n} ketma-ketliklarning barcha elementlari
x_n ≤ y_n (2.1.24)
tengsizlikni qanoatlantirsa, ularning limitlari ham shu tengsizlikni qanoatlantiradi:

lim

n→∞
x_n lim

≤
n→∞
y_n. (2.1.25)

— ≥
Isbot. (2.1.24) ga ko'ra y_n x_n 0 tengsizlik o'rinli va shuning uchun, 2.1.2 - Lemmaga asosan,

— ≥
lim (y_n x_n) 0.
n→∞
Endi (2.1.18) tenglikni qo'llab, talab qilingan (2.1.25) munosabatni olamiz. Q.E.D.
Eslatma. Agar (2.1.24) shartni qat'iy x_n < y_n tengsizlikka o'zgartirsak, bundan, umuman aytganda, limitlar uchun ham qat'iy tengsizlik kelib chiqmaydi. Masalan,

1

agar x_n = 0 va y_n =

n

biroq
ketma-ketliklarni olsak,

x_n < y_n,

lim x_n = lim y_n = 0.

n→∞ n→∞

Navbatdagi teorema matematik tahlilda muhim rol o'ynaydi.

4. 
   - Teorema. Faraz qilaylik, {x_n} va {y_n} ketma-ketliklar bitta songa yaqinlashsin va {z_n} ketma-ketlik
   

x_n ≤ z_n ≤ y_n (2.1.26)
tengsizlikni qanoatlantirsin. U holda {z_n} ketma-ketlik ham xuddi o'sha songa yaqinlashadi.

{ } { }
Isbot. Shartga ko'ra, x_n va y_n ketma-ketliklar limiti a soni bo'lsin. Shunday
ekan, (2.1.26) tengsizlikdan
x_n − a ≤ z_n − a ≤ y_n − a (2.1.27)
munosabat kelib chiqadi.
2.1.7 - Tasdiqqa asosan, {x_n − a} va {y_n − a} ketma-ketliklar cheksiz kichik bo'ladi. Demak, (2.1.27) va 2.1.6 - Tasdiqqa ko'ra, {z_n − a} ketma-ketlik ham cheksiz kichik bo'ladi, ya'ni z_n → a.

Q.E.D.

Eslatma. Isbotlangan teorema yuqorida keltirilgan ikki militsioner prinsipi ning yana bir varianti: agar qochuvchi (ya'ni z_n) hamma vaqt biror a punktga intiluvchi ikki militsioner (ya'ni x_n va y_n) orasida bo'lsa, qochuvchi ham oxir- oqibat shu punktga keladi.

2.2. Monoton ketma-ketliklar

1. 
   Sonli ketma-ketliklarni o'rganishdagi asosiy muammo bu ularning limitga ega bo'lishligidir. Umumiy holda bu muammoni hal qilish ancha murakkab bo'lsa-da, lekin ketma-ketliklarning ba'zi sinflari uchun u nisbatan oson hal qilinadi. Shu ma'noda monoton ketma-ketliklar ayniqsa sodda xossalarga ega.
   

Ta'rif. Agar barcha n nomerlar uchun
x_n ≤ x_n+1, n = 1, 2, 3, ... (2.2.1)

{ }
tengsizliklar o'rinli bo'lsa, x_n ketma-ketlikni o'suvchi deymiz.
Agarda quyidagi qat'iy
x_n < x_n+1, n = 1, 2, 3, ... (2.2.2)

{ }
tengsizliklar o'rinli bo'lsa, x_n ketma-ketlikni qat'iy o'suvchi deymiz.
Masalan, x_n = n ketma-ketlik qat'iy o'suvchidir.
Kamayuvchi ketma-ketliklar ham shunga o'xshash aniqlanadi.
Ta'rif. Agar barcha n nomerlar uchun
x_n ≥ x_n+1, n = 1, 2, 3, ... (2.2.3)

{ }
tengsizliklar bajarilsa, x_n ketma-ketlikni kamayuvchi deymiz.
Agarda quyidagi qat'iy
x_n > x_n+1, n = 1, 2, 3, ... (2.2.4)

{ }
tengsizliklar bajarilsa, x_n ketma-ketlikni qat'iy kamayuvchi deymiz.
O'suvchi ketma-ketliklarni va kamayuvchi ketma-ketliklarni monoton ketma-
ketliklar deyiladi. Ba'zan, qat'iy o'suvchi va qat'iy kamayuvchi ketma-ketliklar qat'iy monoton ketma-ketliklar deyiladi.