1. Sanlı izbe-izlik dep natural sanlar toplaminda anıqlanǵan hám haqıyqıy bahalar qabıl etiwshi

Q.E.D.

Berilgan E to'plamning barcha limit nuqtalari to'plami hosilaviy to'plam deyiladi va E^′ simvoli orqali belgilanadi.
Shunga e'tibor qaratayliki, E to'plamning limit nuqtalari E to'plamga tegishli bo'lishi ham, tegishli bo'lmasligi ham mumkin. Masalan, agar E = (0, 1) bo'lsa, E^′ = [0, 1] bo'ladi. Demak, (0, 1) intervalning barcha nuqtalari limit nuqtalar bo'lib, ular E ga tegishlidir; ikki chegaraviy 0 va 1 nuqtalar esa, limit nuqta bo'lishiga qaramasdan, E ga tegishli emas.

Bu misolda E to'plamning barcha nuqtalari limit nuqtalar bo'lib chiqdi. Lekin

1

doim ham bunday bo'lavermaydi. Masalan, agar m natural son bo'lsa, barcha

m

ko'rinishdagi sonlardan tashkil topgan E to'plam yagona a = 0 limit nuqtaga ega va bu nuqta E to'plamga tegishli emas. Ushbu to'plamning xech bir nuqtasi limit nuqta bo'lmaydi, chunki bu nuqtalarning har biri shunday atrofga egaki, unda E to'plamning bu nuqtadan boshqa elementi yoq.
Berilgan E to'plamning limit nuqtasi bo'lmagan elementlari yakkalangan nuqtalar deyiladi. Binobarin, oxirgi o'rganilgan misolda E to'plamning barcha nuqtalari yakkalangan ekan.
Ta'rif. Barcha limit nuqtalari o'ziga tegishli bo'lgan to'plam yopiq to'plam deyiladi.

⊂
Shunday qilib, agar E^′ E bo'lsa, E yopiq bo'lar ekan. Limit nuqtalar to'plami
E^′ doimo yopiq bo'lishini ko'rsatish oson.

∪
E E^′ to'plam E to'plamning yopilmasi deyiladi va E simvol orqali belgilanadi. E to'plam E ni o'z ichiga olgan eng kichik yopiq to'plam ekanini ko'rsatish qiyin emas.

2. 
   Zamonaviy matematik tahlilda muhim o'rin tutgan yana bir tushunchani kiritamiz.
   

⊂ ∈
Ta'rif. Agar E R to'plamga tegishli bo'lgan har qanday x_n E nuqtalar
ketma-ketligidan yaqinlashuvchi hamda limiti ham E ga tegishli bo'lgan qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin bo'lsa, bu to'plam kompakt to'plam deyiladi.
Navbatdagi teorema haqiqiy sonlarning kompakt to'plamlari tavsifini beradi.

⊂
2.7.1 - Teorema. Berilgan E R to'plam kompakt bo'lishi uchun uning yopiq va chegaralangan bo'lishi zarur va yetarli.
Isbot. 1) Zarurligi. Faraz qilaylik, E to'plam kompakt bo'lsin. Uning yopiq va
chegaralangan ekanini isbotlaymiz.

∈ → ∈
Aytaylik, a nuqta E to'plamning ixtiyoriy limit nuqtasi bo'lsin. U holda, 2.7.1 - Tasdiqning (i)-(iii) shartlarini qanoatlantiruvchi {x_n} ketma-ketlik mavjud bo'ladi, ya'ni x_n E bo'lib, x_n a bo'ladi. Bundan, kompakt to'plam ta'rifiga ko'ra, a E kelib chiqadi. Demak, E to'plam o'zining barcha limit nuqtalarini o'z ichiga olar ekan. Bu esa, ta'rifga ko'ra, E ning yopiq to'plam ekanini anglatadi.

∈
Endi E chegaralanmagan to'plam deb faraz qilaylik. U holda x_n E bo'lgan cheksiz katta ketma-ketlik mavjud bo'lib, ravshanki, bu ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratib bo'lmaydi. Bu esa E to'plamning kompaktligiga ziddir.
Demak, E chegaralangan to'plam ekan.
2) Yetarliligi. Endi E yopiq va chegaralangan bo'lsin. Uning kompakt bo'lishini isbotlaymiz.

∈

{ }
E to'plam nuqtalaridan tuzilgan ixtiyoriy x_n ketma-ketlikni olaylik. Bu ketma- ketlik chegaralanganligi uchun, Bol'sano-Veyershtrass (2.4.2 - Teorema) teoremasiga asosan, undan biror a soniga yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin. Endi a E ekanini ko'rsatish yetarli.
Ikki holni qaraymiz.
) {x_n} ketma-ketlik aqalli bitta a ga teng bo'lgan elementga ega. Bu holda barcha x_n ∈ E bo'lgani sababli, a ∈ E bo'ladi.
B) {x_n} ketma-ketlikning barcha elementlari a dan farqli. Bu holda a nuqta E
to'plamning limit nuqtasi bo'ladi va, E yopiq bo'lgani sababli, yana a ∈ E bo'ladi.
Shunday qilib, har ikkala holda ham a ∈ E ekan. Q.E.D.
Quyidagi uchta to'plam kompakt to'plamga misol bo'ladi:
1) Chekli sondagi elementga ega bo'lgan to'plam. Bu to'plam chegaralangan va birorta ham limit nuqtaga ega emas va, shuning uchun, u yopiq (bu to'plamning barcha nuqtalari yakkalangan);

2) 0, 1, ¹ ,