1. Sayyoralarning orbitalarini aniqlovchi elementlar

2. Keplerning umumlashtirilgan qonunlari
Kepler o’zining qonunlarini empirik ravishda sayyoralarning harakatlarini o’rganish asosida topgan edi. Shuning uchun biz qayd qilgan ta’riflar faqatgina sayyoralarga taalluqlidir.
Barcha kosmik jismlarni harakatini ifodalash uchun Kepler qonunlarini umumlashtirish lozim.
a. Keplerning birinchi umumlashtirilgan qonuni quyidagicha ta’riflanadi: Tortilish kuchi ta’siri ostida bir jism ikkinchi eism tortish maydonida biror konik orbita ellips, aylana, parabola yoki giperbola bo’yicha harakat qiladi. Anna shunday ta’rifga ko’ra jismlar, kometalar sayyoralar va boshqalar ularning orbitalari ellips parabola yoki giperbola shaklida bo’ladi degan xulosa chiqadi. Bu ta’rif katta sayyoralar yo’ldoshlari uchun ham qo’shaloq yulduzlar uchun ham o’rinlidir.
b. To’g’ri burchakli koordinat sistemasini shunday olamizki, uning boshida tortiluvchi markaziy jism joylashgan bo’lib, XY tekislikda harakatlanuvchi jism orbitasi joylashgan bo’lsin.
Kuch va tezlanishni koordinat o’qlariga proyeksiyasini olib mexanikaning asosiy tenglamasini yozamiz:

Bu tengliklarni ikkinchisini x-ga birinchisini y-ga ko’paytirib, ikkinchisidan birinchisini ayiramiz. U holda
(9.6)
ekanligini topamiz. Kuch markaziy bo’lganligi uchun, rasmdan ko’rinib turibdiki,
yoki (9.7)
(9.6) va (9.7) formulalardan
yoki (9.8)
yozish mumkin bo’lib, bundan ekanligi kelib chiqadi.
Qutb koordinat sistemasiga o’tsak
(9.9)
ekanligi kelib chiqadi, ya’ni vaqt birligida jism radiusi vektori chizgan yuza o’zgarmas kattalikdir.
v. Kepler uchinchi qonuni.
Aylanma harakatda tezlanish
(9.10)
ga tengdir. m massali jismni M markaziy jism atrofidagi nisbiy tezlanishni ko’rib chiqamiz. Biz bilamizki,

bo’lib, shuning uchun

bo’ladi. a va a_nis bir xil tezlanish bo’lganligi uchun

bo’lib, bundan (9.11)
ekanligi kelib chiqadi. Topilgan tenglikni mos raviishda M₁ va M₂ markaziy jismlar atrofida aylanuvchi m₁ va m₂ jismlar uchun yozsak hamda bu jismlar ellips bo’yicha harakat qilayotganligini hisobga olsak, u holda bo’ladi. Shuning uchun quyidagicha yozish mumkin:
(9.12)
Oxirgi formulani sayyoralarga tatbiq etsak markaziy jism M - Quyoщdir va bo’lganligi sababli bo’lishi kelib chiqadi.
(9.11) formula astronomiyada katta rol o’ynaydi, undan foydalanib sayyoralarni massasi topiladi.